[Nierówności] Nierówność z WKM

[szablewskil]

Trzy liczby dodatnie a,b,c spełniają warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=1}\). Udowodnij że: \(\displaystyle{ \sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ac} + \sqrt{c+ab} qslant \sqrt{abc} + \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}\) Oczekuję na ciekawe rozwiązania. Jak będą inne jak moje to wstawie swoje . Tylko nie przepisujcie firmówki

[qsiarz]

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=1}\). Udowodnij że: \(\displaystyle{ \sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ac} + \sqrt{c+ab} qslant \sqrt{abc} + \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}\)

zauwazamy ze \(\displaystyle{ abc=( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c})abc = ab+bc+ca}\)

nierownosc przyjmuje postac
\(\displaystyle{ \sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ac} + \sqrt{c+ab} qslant \sqrt{ab+bc+ca} + \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}\)
podnosimy do kwadratu i skraca sie wszystko procz podwojonych iloczynow i zostaje (SUMY SA CYKLICZNE)
\(\displaystyle{ \sum 2\sqrt{(a+bc)(b+ca)} qslant 2[\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)} + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}]}\)
zmieniamy \(\displaystyle{ ab+bc+ca}\) na \(\displaystyle{ abc}\) (mozna bo sa rowne)
\(\displaystyle{ \sum \sqrt{(a+bc)(b+ca)} qslant \sqrt{(a+b+c)(abc)} + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}}\)

teraz z cauchyego schwarca
\(\displaystyle{ \sqrt{(a+bc)(b+ca)} qslant \sqrt{ab} + c\sqrt{ab}}\)
sumujac cyklicznie, jeszcze zauwazamy ze
\(\displaystyle{ a\sqrt{bc} + b\sqrt{ca} + c\sqrt{ab} qslant \sqrt{(a+b+c)(abc)}}\)
i juz jest teza

nie wiem czy to firmowka, bo nie mam tej ksiazki

[pog]

ładnie.

[szablewskil]

rozwiązałem niemal identycznie