VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

[enigm32]

Za tydzień etap powiatowy. Kto bierze udział?
Macie może jakieś ciekawe zadanka z tematu wiodącego (w tym roku: Wartość bezwzględna liczby) lub zadania z lat poprzdnic. Interesuje mnie głównie poziom drugi. Piszcie w ogóle Wasze opinie na temat tego konkursu. Pozdrawiam

[Bastuś]

Biorę udział w tym konkursie na poziomie pierwszym. Kilka zadań z poprzednich lat z którymi mam problemy:
IV PKM, poziom I, etap powiatowy:
Pan Klewer na pytanie, jaki jest numer jego biletu odpowiedział: "Każde dwie cyfry numeru mojego biletu są różne. Jeżeli wszystkie sześć dwucyfrowych liczb, które można otrzymać z cyfr numeru zsumujemy, to połowa otrzymanej sumy jest numerem mojego biletu". Jaki jest numer biletu Klewera?
(Wychodzą mi tu jakieś sprzeczności).
VII PKM, poziom pierwszy, powiat:
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x(y+z)=5\\y(z+x)=10\\z(x+y)=13\end{cases}}\)
VII PKM, poziom I, rejon:
Wykaż, że istnieje liczba postaci:
\(\displaystyle{ 200720072007...20070..0}\) podzielna przez\(\displaystyle{ 2008}\).
? PKM, I poziom, ?:
Wykaż, że nie istnieje trójkąt o wysokościach 1, 2, 3.

Może najpierw prosiłbym tylko o jakąś podpowiedź dotyczącą rozwiązania tych zadań, a potem gdy dalej nie będę wiedział jak to zrobić to poproszę o pełne rozwiązanie.

Orientuje się ktoś może ile wynosi zazwyczaj próg do poszczególnych etapów?
Bo wciąż mam nadzieję na awans do rejonowego, bo finał to już dla mnie byłby kosmos.

[enigm32]

Z tym Kleverem przelicz jeszcze raz, może sie gdzies pomyliłes w rachukach, bo to nie jest trune.

\(\displaystyle{ \begin{cases} xy+xz=5\\yz+xy=10 \\xz+yz=13\end{cases}}\) - dodajemy wszystkie równania
\(\displaystyle{ 2xy+2yz+2zx=28 xy+xyz+zx=14}\) z tego mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy+yz=14-zx\\yz+zx=14-xy \\ zx+xy=14-yz\end{cases}}\)
Podstawiasz do początkwoego równania, potem mnożysz wszytskie stronami i masz ile wynosi xyz (dwa przypadki), wracasz do tego układu, podsatwiasz i masz juz równania z jedna niewiadomą. Pamiętam, ze ja to tak rozwiązałem rok temu.

Co o tej liczby postaci, to wskazówka: skorzystaj zasady szufladkowej Dirichleta

W trójkącie załóż hipotetycznie, ze taki trójkąt o takich wysokościach istnieje, wyraź pole tego trójkąta na trzy sposby: za pomocą trzech wysokości i trzech podstaw (wprowadź np a,b,c). Teraz wykorzystując odpwoiednie równosci dojdziesz do sprzeczności z nierównością trójkąta, co dowodzi tego ze taki trójkąt nie istnieje.

[Ades]

mógłby ktoś pokazać zakończenie tego równania bo doszedłem do tego że yz=9 xz=4 xy=1 i "umarłem"

[enigm32]

Pomnóż teraz przez siebie te trzy równości i otrzymasz \(\displaystyle{ (xyz)^2=36 xyz=6 xyz=-6}\)
No i teraz podstawiasz po kolei za xy, za yz, za zx otzrymując równania z jedna niewiadomą.

[GRZECH]

No i po konkursie, po pierwszym etapie.

A zadania był takie (II stopień):

1. W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich
punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie:
\(\displaystyle{ \left| y-1 \right| + \left| y+1 \right| +2 \left| x \right| = 4}\).

2. Wykaż, że jeśli stosunek rozwiązań rzeczywistych równania kwadratowego:
\(\displaystyle{ a x^{2} + bx + c=0}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) , to: \(\displaystyle{ 3b^{2}=16ac.}\)

3. Usuń niewymierność z mianownika: \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[6]{2}+ \sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{2} }}\).

4. W trapezie ABCD, o podstawach AB i CD, punkt O jest punktem wspólnym przekątnych.
Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe p, a pole trójkąta CDO jest równe r.

5. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba: \(\displaystyle{ \left[ \frac{n+4}{2} \right] +3n-2 (-1)^{n}}\),
gdzie [a] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż a, jest podzielna przez 7.


Co do zadania trzeciego to mam dobry wynik (sprawdzone na kalkulatorze i w Derive'ie, wygląda on tak :

\(\displaystyle{ \frac{2^{5/6}(2^{2/12}+1-2^{1/12})(2^{4/12}+1-2^{2/12})(2^{1/3}+1-2^{2/3})(2^{2/3}-1)(2^{8/3}+2^{4/3}+1)}{30}}\)

Miałem jeszcze napisać do sprawdzających: Have a nice day! ale się nie zmieściło .

[enigm32]

Niech ktoś napisze treść zadań z I poziomu.

[Bastuś]

1. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a+b\geqslant1}\) i \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b>0}\), to \(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}\geqslant\frac{1}{8}}\).
2. Dwa trójkąty równoboczne mają wspólny środek i boki równoległe. Pole jednego trójkąta jest dwa razy większe od pola drugiego, a bok mniejszego trójkąta ma długość 1. Jaka jest odległość między równoległymi bokami?
3. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są długościami boków trójkąta, to:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)

[wm155]

Proszę:



Co do samych zadań, to jak innym poszło? Ja jestem zadowolony, raczej nie przewiduje większych strat w punktach nigdzie poza 1 zadaniem ( wydaje mi się, że brakuje paru ważnych komentarzy) ;]

[Bastuś]

A w zadaniu drugim uwzględniłeś dwa przypadki?
Jaki Ci wyszedł w tym zadaniu wynik?
Jak zrobiłeś 1 i 3?

[wm155]

Może to głupia odpowiedź, ale jeśli to w jakiś sposób pomoże, to w zadaniu drugim wyszedł mi wynik, który zawiera \(\displaystyle{ sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ sqrt{3}}\). Nie pamiętam dokładnie w jakim ustawieniu ;p

1 i 3 zrobiłem.

1.: trochę chaotycznie i dziwnie, więc nie napiszę Ci dokładnie jak.

3.: O ile dobrze pamiętam to
założyłem, że a

[Bastuś]

No to mi w drugim wyszedł troche bardziej skomplikowany wynik, ale dodatkowo rozważyłem tylko jeden przypadek.

Co to znaczy, że równanie jest symetryczne?

[enigm32]

Jeżeli rozwiązaniem równania jest para liczb \(\displaystyle{ \begin{cases} x=a\\y=b \end{cases}}\), to rozwiązaniem jest również para \(\displaystyle{ \begin{cases} x=b\\y=a\end{cases}}\) w przypadku dwóch zmiennych, a dla większej ilości zmeinnych, roziązaniem jest poprostu każda permutacja danego rozwiąania.

[wm155]

Wedle mojej wiedzy chodzi ogólnie o to, że jeżeli byś zamienił miejscami np. a i b i c w równaniu czy też nierówności, to ogólnie nie zmieni się postac równania czy też nierówności, a raczej jej rozwiązań

[enigm32]

Wedle mojej wiedzy chodzi ogólnie o to, że jeżeli byś zamienił miejscami np. a i b i c w równaniu czy też nierówności, to ogólnie nie zmieni się postac równania czy też nierówności, a raczej jej rozwiązań

Dokładnie, i stąd właśnie ten wniosek, który napisałem wcześniej.