parametry z wartością bezwzględną

[militaria]

1. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ |x-1|=a^{2}-4a-1}\) ma dwa dodatnie pierwiastki?

2. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ |x-2|=a^{2}-3a-2}\) ma dwa pierwiastki różnych znaków?

3.Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ a^{2}(x-1)-ab=b^{2}(x+1)+ab}\) , gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są parametrami.

Co ten temat robił w Fizyce?

[scyth]

Dla \(\displaystyle{ k \ge 0}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ |x-1|=k \Rightarrow x=1-k \wedge x=1+k}\)
Zatem muszą zachodzić warunki:
1.
\(\displaystyle{ a^2-4a-1 > 0 \ \rightarrow a^2-4a>1 \\
1-(a^2-4a-1) > 0 \ a^2-4a 0 \ \rightarrow a^2-4a>0\\
\Rightarrow
2 > a^2-4a > 1 \\
\Rightarrow a \in (2-\sqrt{6},2-\sqrt{5})\cup(2+\sqrt{5},2+\sqrt{6})}\)
2.
\(\displaystyle{ a^2-3a-2 > 0 \ \rightarrow a^2-3a>2 \\
1-(a^2-3a-2) < 0 \ a^2-3a 0 \ \rightarrow a^2-4a>1\\
\Rightarrow
3 > a^2-3a > 2}\)

3.
\(\displaystyle{ a^2 (x-1)-ab=b^2 (x+1)+ab \\
x a^2 - x b^2 = 2ab+a^2+b^2 \\
x(a-b)(a+b)=2ab+a^2+b^2}\)

gdy \(\displaystyle{ a=b\ne0}\) sprzeczność,
gdy \(\displaystyle{ a=-b}\) to \(\displaystyle{ x \mathbb{R}}\), bo dostajemy 0=0,
w przeciwnym przypadku istnieje dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x=\frac{2ab+a^2+b^2}{a^2-b^2}}\)

[sopi]

może ktoś to dokładniej wyjaśnić ?? skąd tu to k?? i jakie działania, własności zastosowano??
Dzięki

[scyth]

skąd tu to k

Z nikąd. Po prostu jest to ogólny przypadek, który zachodzi zawsze i na jego podstawie rozwiązuję zadanie (podstawiając za k różne wartości).

ps. w 3. wzór na x można jeszcze uprościć jakby ktoś potrzebował .

[MgielkaCuba]

dlaczego zadanie 1 i 2 jest rozpatrywane na takich samych zsadach? w pierwszym zadaniu mamy dodatnie pierwiastki a w drugim rozne ! ?

[sopi]

ale co to za ogolny przypadek dla "k" !!??co sie dzieje z "x-em"??

[scyth]

ech...
\(\displaystyle{ |x-n|=t \iff x=n+t \ \ x=n-t}\)
Oto dwa pierwiastki tego równania.

[sopi]

oki, rozumiem