Długości boków trójkąta, którego jeden z kątów ma miarę 120

[JarTSW]

Długości boków trójkąta, którego jeden z kątów ma miarę 120 stopni, tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. W jakim stosunku pozostają długości boków tego trójkąta?

[JHN]

Do ostatecznej odpowiedzi doprowadzi Cię równanie z tw. Carnota:
\(\displaystyle{ (b+r)^2=(b-r)^2+b^2-2\cdot(b-r)\cdot b\cdot\cos120^\circ}\)
z którego należy wywnioskować prostą zależność \(\displaystyle{ r>0}\) od \(\displaystyle{ b>r}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ a:{}b{}:c}\)
Pozdrawiam

[GuGim]

Długości boków trójkąta, którego jeden z kątów ma miarę 120 stopni, tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. W jakim stosunku pozostają długości boków tego trójkąta?

hm.. jak na moje to takie katy nie moga istniec... bo by to musialo byc \(\displaystyle{ 0, 60}\) i \(\displaystyle{ 120}\)...

jesli tak faktycznie jest (bo moge sie mylic) - to napisze z czego to wnioskuje

[JankoS]

z którego należy wywnioskować prostą zależność

Chodzi mi o "należy'.
Wedlug mnie oznacza to, że inaczej nie można. Czy dobrze rozumiem?

[ Dodano: 23 Marca 2008, 15:57 ]

to napisze z czego to wnioskuje

Ciąg tworzą boki, a kąty... to wie geometria.

[GuGim]

Ciąg tworzą boki, a kąty... to wie geometria.

ajajaj... zle przeczytalem

[JarTSW]

A coś bardziej na poziomie 2 średniej...?

[JankoS]

A coś bardziej na poziomie 2 średniej...?

Nie wiem, o co Koledze chodzi?
Jeżeli o zadanie, to bez ciągu się nie obejdzie, bo jest on w nim niejako "zaszyty". Wydaje mi się, że można się obyć bez twierdzenia Carnota. Zamiast niego próbować z zastosowaniem twierdzenia o podziale boku przez dwusieczną.

[JHN]

Dziurę w ścianie można w oczywisty sposób wydłubać śrubokrętem. Ale wygodniej jest wiertarką
Osobiście nie widzę w mojej propozycji nic ponad wymagania "drugiej ponadgimnazjalnej" (średnie przeszły do historii)
Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy \(\displaystyle{ r={2\over5}b}\) i wobec tego odpowiedź: \(\displaystyle{ a:{}b{}:c=3:5:7}\)
Pozdrawiam

[JankoS]

Dziurę w ścianie można w oczywisty sposób wydłubać śrubokrętem. Ale wygodniej jest wiertarką
Osobiście nie widzę w mojej propozycji nic ponad wymagania "drugiej ponadgimnazjalnej" (średnie przeszły do historii)

Żaden z uczestników dyskusji tego nie zanegował.

Pytając o znaczenie, użytego przez Kolegę, słowa "należy', nie miałem na myśli stosowania tego twierdzenia. Chciałem jedynie zwrócić uwagę, że równie dobrze można wyznaczyć b w zależności od r.
Na programach nauczania się znam, i nie wiem, czy drugoklasiści już mieli do czynienie z twierdzeniem cosinusów, czy też nie.
Samo zadanie ma tak dobrany kąt, że po zastąpieniu wyrażenia "dlugości boków tworzą ciąg geometryczny" słowami "dlugości boków róznią się o taką samą liczbę" - może je rozwiązać średnio rozgarnięty uczeń ostatniej klasy gimnazjum lub pierwszej klasy ponadgimnazjalnej.
Jest rzeczą interesującą, jakby je rozwiązał pan Carnot zanim odkrył twierdzenie?

[sylmasz]

To jak w końcu zrobic to zadanie?
Bo z tego pierwszego przeliczenia wychodzi mi: 3br=0

??

[JankoS]

\(\displaystyle{ b^2+2br+r^2=b^2-2br+r^2+b^2-2(b^2-br)(-\frac{1}{2}) \Leftrightarrow 4br=2b^2-br \Leftrightarrow 2b(b-\frac{5}{2}r)=0 \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}r}\)
itd.