7 zadań z logiki

[mateusz3]

1. Zapisac symbolicznie nastepujace zdania:
(a) Liczba a jest naturalna i jest podzielna przez 3 oraz w dzieleniu przez 4 daje reszte 1.
(b) Jedynymi liczbami wymiernymi spełniajacymi równanie \(\displaystyle{ 2x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-3x+1=0}\) sa liczby 1 i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) . (Czy to jest zdanie prawdziwe?).
(c) Ciag (\(\displaystyle{ a_{n}}\)) jest od pewnego miejsca stały.

2. Napisac po polsku co wyrazaja nastepujace zdania:
(a) \(\displaystyle{ (a R |a| = 2) a = 2 -2}\) Czy to jest zdanie prawdziwe?
(b) \(\displaystyle{ z C |z| = 1 z = 1 z = -1}\) Prawda?
(c) \(\displaystyle{ ((\exists_{M R}\forall_{n N^{a_{n}}} < M) \wedge \forall_{n \in N^{a_{n}}}\leqslant a_{n+1}) \Rightarrow \exists_{g}lim \ a_{n} = g}\) Prawda?

3. Dla jakich \(\displaystyle{ x \in R}\) sa prawdziwe zdania?
(a) \(\displaystyle{ \forall_{y \in R} \ x+y \leqslant xy}\)
(b) \(\displaystyle{ \exists_{y \in R} \ x+y \leqslant xy}\)
(c) \(\displaystyle{ \exists_{y \in R} \ (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=0}\)
(d) \(\displaystyle{ \forall_{x \in R}\exists_{z \in R} \ x+y+z \neq 0}\)
Napisac zaprzeczenia tych zdan.

4. Udowodnic metoda indukcji
(a) \(\displaystyle{ 1^{2}+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}=n^{2}(2n^{2}-1)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in N}\).
(b) Dla kazdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n^{3} + 5n}\) dzieli sie przez 120.
(c) Dla jakich n prawdziwa jest nierównosc \(\displaystyle{ 2^{n} > n^{2} + 3n}\). Sformułowac hipoteze i udowodnic metoda indukcji.

5. Ocenic prawdziwosc nastepujacych zdan.
(a) \(\displaystyle{ \exists_{x R}\exists_{y R}\exists_{z R} \ x + y + z = 1}\)
(b) \(\displaystyle{ \exists_{x R}\forall_{y R}\exists_{z R} \ x + y + z = 1}\)
(c) \(\displaystyle{ \forall_{x R}\exists_{y R}\exists_{z R} \ x + y + z = 1}\)

6. Rozstrzygnac (i) przy pomocy funkcji charakterystycznych , (ii) przekształcajac na odpowiednie zdania logiczne, czy dla dowolnych zbiorów A,B,C sa prawdziwe nastepujace relacje. Jesli nie to podac odpowiedni konkretny przykład.
(a) \(\displaystyle{ A \cup (A \cap B) = A}\)
(b) \(\displaystyle{ A \cap (A \cup B) = B}\)
(c) \(\displaystyle{ (A \cap B) \cup (C \cap B) = B}\)
(d) \(\displaystyle{ (A \cup B) - C (A - C) \cup B}\)

7. Niech \(\displaystyle{ X = \lbrace x R:2qslant 7\rbrace, \ Y=\lbrace x R: -1 qslant x < 5\rbrace}\). Wyznaczyc: \(\displaystyle{ X \cup Y, \ X \cap Y, \ X - Y, \ X \div Y}\)

[Swistak]

4.B to totalna bzdura. Dla n=1 to wyrażenie będzie miało wartość 6, a dla n=2 - 18. Przez 6 dzieli się dla każdego n i to dosć łatwo indukcyjnie udowodnić.

[tkrass]

4c chyba nie w tym dziale, ale udowodnić umiem, to pokażę:

hipoteza: dla dowolnego \(\displaystyle{ n \geqslant 6}\) jest to prawdą:

dla 6 - zgadza się

założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ 2 ^{n} > n ^{2} + 3n}\)
udowodnić: \(\displaystyle{ 2 ^{n+1} > n ^{2} + 5n + 1}\)
dowód nie wprost - zakładam że: \(\displaystyle{ 2 ^{n+1} qslant n ^{2} + 5n + 1}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n+1} qslant (n ^{2} + 3n) + 2n + 1}\)
czyli na mocy mojego założenia:
\(\displaystyle{ 2 ^{n+1} qslant 2 ^{n} + 2n + 1}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n+1} - 2 ^{n} qslant 2n + 1}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n} (2-1) qslant 2n+1}\)
\(\displaystyle{ 2(2 ^{n-1} - n) qslant 1}\)

widać, że jest to nieprawdą, bo po lewej jest dwukrotność liczby naturalnej, a po prawej najmniejsza liczba naturalna.

czyli udowodniłem własną hipotezę.

[yorgin]

\(\displaystyle{ 1.\\
(a\in \mathbb{N}) (3|a) (a \equiv 1 (mod 4))\\
(\exists_{a\in \mathbb{Q}}:a\neq 1 a\neq \frac{1}{2} 2a^4-3a^3+3a^2-3a+1=0) \quad \mbox{prawdziwe}\\
\exists_{M\in \mathbb{R}}\ \exists_{N\in\mathbb{N}}\ \forall_{n\geqslant N}\ a_n=M}\)

2. Jeśli a jest liczbą rzeczywistą i jej moduł jest równy 2, to a=2 lub a=-2 (Prawda)
Jeśli z jest liczbą zespoloną o module 1 to z=1 lub z=-1 (Fałsz0
Jeśli ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest ograniczony od góry i słabo malejący to jest zbieżny. (Fałsz0

[Dumel]

zad. 5 - wszystkie zdania prawdziwe