wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji

[tbarczyk]

1.Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x ^{2}-2x+4 }{x-2}}\)

2. Wyznacz ekstrema funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=- \frac{4}{5}x^{5}+3x^{4}- \frac{1}{3}x^{3}-6x^{2}-4x+5}\)

z góry dziekuję za pomoc

[natkoza]

1. \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{(2x-2)(x-2)-(x^2-2x+4)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-6x+4-x^2+2x-4}{(x-2)^2}=\frac{-x^2-4x}{(x-2)^2}\\
f'(x)=0 \Leftrightarrow -x^2-4x=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=4\\
f'(x)>0 \Lefyrightarrow x\in (-\infty,0)\cup (4,\infty)\\
f'(x)}\)

[tbarczyk]

a w tym drugim wyszła mi taka pochodna:

\(\displaystyle{ f(x)=-4x^{4}+12x^{3}-x^{2}-12x-4}\)

i sory ale nie wiem jak wyliczyć miejsca zerowe tej funkcji

[natkoza]

skorzystaj z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu.
PS. funkcja pochodna ma dwa pierwiastki podwójne

[tbarczyk]

sory ale chyba nie wymyśle. jeden pierwiastek mi wyszedł i wynosi on 2 a po podzieleniu przez ten wielomian wychodzi mi wielomian trzeciego stopnia z resztą

[natkoza]

podpowiem \(\displaystyle{ x=2}\) jest pierwiastkiem podwójnym, tak samo jak \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\)

[tbarczyk]

przed chwila to samo wyliczyłem no ale co dalej ?

aha, juz wiem że ta funkcja nie ma ekstremów, tylko nie wiem skąd to wyliczyc że \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) są pierwiastkami dwukrotnym? bo ja to liczyłem podstawiając dzielniki wyrazu wolnego i przy najwyższej potędze(przy pierwiastkach wymiernych).Jak to sprawdzić?

[natkoza]

najłatwiej jest to sprawdzić licząc drugą pochodną (pochodna z pochodnej ) i policzyć jej pierwiastki.Jeżeli jakaś liczba będzie pierwiastkiem tej drugiej pochodnej i jest pierwiastkiem pochodnej, to ta liczba jest tak naprawde pierwiastkiem podwójnym pochodnej

[JankoS]

1. \(\displaystyle{ f'(x)>0 \Lefyrightarrow x\in (-\infty,0)\cup (4,\infty)\\
f'(x)}\)