Całka z odwrotności sinusa

[Andrzejmm]

Policzyć całkę:
\(\displaystyle{ \int{}\frac{1}{\sin {x}}dx}\)

[Wasilewski]

Było parę razy. Można na przykład tak:
\(\displaystyle{ t = \cos x \dd x = \frac{dt}{-\sin x} \\
\int \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\int\frac{dt}{t-1} - \int \frac{dt}{t+1}\right) = \frac{1}{2} \ln | \frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}|}\)

[Andrzejmm]

Hej mam pytanie. Tam z początku można by wstawić arctg t ?

[Wasilewski]

Nie, bo tam jest minus, a nie plus.

[soku11]

Pewnie mozna, tylko pytanie - po co i co by to dalo ?? Trzeba przeciez sobie ulatwiac a nie utrudniac zycie POZDRO

[przemk20]

albo mozna np tak
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{ \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} } = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2} \tan \frac{x}{2} } \\
\tan \frac{x}{2} = t \ \ \frac{dx}{2 \cos^2 \frac{x}{2} } = dt \\
\int \frac{dt}{t} = \ln t + C =\ln \tan \frac{x}{2} + C }\)

[naukaposzlawlas]

mam pytanie do ostatniego postu. co się stało w pierwszej linijce po drugim znaku równości?

[Spektralny]

Użyto tożsamości

\(\displaystyle{ \mbox{tg}\,y=\frac{\sin y}{\cos y}}\).

[naukaposzlawlas]

nie było pytania...

[MichalProg]

Było parę razy. Można na przykład tak:
\(\displaystyle{ t = \cos x \dd x = \frac{dt}{-\sin x} \\
\int \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\int\frac{dt}{t-1} - \int \frac{dt}{t+1}\right) = \frac{1}{2} \ln | \frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}|}\)

Odświeżę temat, czy mógłbym prosić o wyjaśnienie, skąd wzięło się: \(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t^2 - 1}}\) ?

Dzięki.
Michał

[tangerine11]

\(\displaystyle{ t=\cos x \\
dt=-\sin x \dd x \\
\\
\int \frac{1}{\sin x} \dd x = \int \frac{\sin x}{\left( \sin x\right)^{2} } \dd x = (...) = - \int \frac{1}{1-t^{2}} \dd t = \int \frac{1}{t^{2}-1} \mbox{d}t }\)

(...)
\(\displaystyle{ 1=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x \\
\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x=1-t^{2}}\)