obraz i przeciwobraz

[zedd5]

Witam to mój pierwszy post, więc proszę o wyrozumiałość.
Mam problem z dowodem:
Niech \(\displaystyle{ f:S\rightarrow T}\)
Pokaż, że \(\displaystyle{ f(f^{\leftarrow}(B))\subseteq B}\)
i powiedz, kiedy zachodzi równość tych dwóch zbiorów (jakie warunki musi spełnić zbiór B).

[JankoS]

Witam to mój pierwszy post, więc proszę o wyrozumiałość.
Mam problem z dowodem:
Niech \(\displaystyle{ f:S\rightarrow T}\)
Pokaż, że \(\displaystyle{ f(f^{\leftarrow}(B))\subseteq B}\)
i powiedz, kiedy zachodzi równość tych dwóch zbiorów (jakie warunki musi spełnić zbiór B).

Domyślam się że \(\displaystyle{ f ^{ }(B)}\) oznacza przeciwobraz zbioru B.
Założenia: \(\displaystyle{ f:S\rightarrow T, \ B T}\)
Teza: \(\displaystyle{ f(f^{\leftarrow}(B))\subseteq B}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ y f(f^{\leftarrow}(B)) (\bigvee\limits_{x\in f ^{ }B } ( y=f(x) f(x) B)) y B f(f^{\leftarrow}(B)) = B.}\)
c.n.u.
Uwaga: W założeniach dodano warunek \(\displaystyle{ B T}\) stąd na końcu zawieranie "przeszło" w równość.
Poniżej zamieszczam dowód bez tego założenia (czyli B dowolny zbiór nie będący podzbiorem zbioru T.
Niech \(\displaystyle{ B \cap T=:A B}\) Wtedy \(\displaystyle{ A T A B.}\)
Z wykazanego powyżej twierdzenia \(\displaystyle{ (f(f^{\leftarrow}(B))=f(f^{\leftarrow}(A))= A}\)
\(\displaystyle{ [(f(f^{\leftarrow}(B))=f(f^{\leftarrow}(A))= A) (A B )] ( f(f^{\leftarrow}(B)) B)}\).

[zedd5]

Dzięki za dowód.
Jeszcze jedno: to zadanie (powyżej) jest z Matematyki dyskretnej Rossa, paragraf 1.4, zad. 13. Tam jest podane w treści zadania, że B jest podzbiorem zbioru T. Czy to jedyny warunek, aby zachodziła równość tych zbiorów?

[JankoS]

Żeby zachodziła równość, to musi być \(\displaystyle{ B T.}\) I to jest jedyny warunek równości.
Ten mój dowód mi się nie podoba, bo wynika z niego równość, a powinno być zawieranie. Muszę go "naprawić", co postaram się ucztnić jak najszyciej (gdzieś zamiast równoważności ma być implikacja).

[zedd5]

Dzięki mimo wszystko.