Kuratoryjny konkurs matematyczny dla gimnazjum 2007/2008

[Artemis_Fowl]

W 6 jedyną logiczną odp wydaje się \(\displaystyle{ C}\) tzn \(\displaystyle{ \frac{576}{49}}\)

[Matt21]

Też tak zaznaczyłem, ale jak to obliczyłeś, bo ja na drodze eliminacji pozostałych odpowiedzi?

[Artemis_Fowl]

Szczerze to potrzebowałem czasu więc nie patyczkowałem się z obliczeniem tylko zaznaczyłem najbardziej prawdopodobną. \(\displaystyle{ D}\) odpada bo skoro pole rombu wynosi 24 to kwadrat nie może mieć pola większego niż 24 A odpowiedzi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wydawały się zdecydowanie za małe. W ogóle to wydaje mi sie że tego się nie da obliczyć bez jakiejś wskazówki odnośnie kątów lub boku kwadratu

[binaj]

Szczerze to potrzebowałem czasu więc nie patyczkowałem się z obliczeniem tylko zaznaczyłem najbardziej prawdopodobną. \(\displaystyle{ D}\) odpada bo skoro pole rombu wynosi 24 to kwadrat nie może mieć pola większego niż 24 A odpowiedzi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wydawały się zdecydowanie za małe. W ogóle to wydaje mi sie że tego się nie da obliczyć bez jakiejś wskazówki odnośnie kątów lub boku kwadratu

ja oznaczyłem bok tego kwadratu przez 2x, a dalej z podobieństwa trójkątów prostokątnych
\(\displaystyle{ \frac{3-x}{x} = \frac{3}{4}}\)

[Artemis_Fowl]

binaj, oczywiście masz racje Wybaczcie... jakiś zły dzień dziś... Kurde dziś już nie pisze bo znowu jakieś bzdety napisze... Dobrze że chociaż mam odp dobrą

[olka1239]

Dziwny wynik tzn. 36 i ułamek zwykly, który nie dał się przedstawić za pomocą ułamka dziesiętnego. Nie pamiętam już jaki. Co do kwadratu to podzieliłam romb na 4 trókjąty. Wzięłam jeden z tych trójkątów(będzie miał pole równe 6). Składa sie on z małego kwadratu o boku a, jednego trójkąta o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 3-a}\), drugiego o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 4-a}\). Potem suma pól tych 3 figur wynosi 6, obliczyć a, pomnożyć razy 2 i jest bok kwadratu. Do pola niedaleko Jak daliście z ilością cyfr w zad. 11?

[binaj]

34/36

chyba 23.04 mam wolne

[fafner]

właśnie jak obliczyć 11? ;/

[AVquiraniel]

Dzisiaj był etap wojewódzki w woj. łódzkim. Zamkniętych nie podaję, bo były banalne, a poza tym nie mam ich. Podaję za to otwarte:

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO W ROKU SZKOLNYM 2007/2008
ETAP WOJEWÓDZKI
II CZĘŚĆ

Czas: 90 minut

Zadanie 1. (5 pkt)
Znajdź wartość funkcji \(\displaystyle{ f ft( x \right)}\), jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ x 0}\) spełniona jest równość \(\displaystyle{ f ft( x \right) + 3 f ft( \frac{1}{x} \right) = x^{2}}\).

Zadanie 2. (5 pkt)
Podziel kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\), tak aby powstała siatka ostrosłupa. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek.

Zadanie 3. (6 pkt)
W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość \(\displaystyle{ 10 \sqrt{3}}\) cm, a przekątna ma długość 15 cm. Wiedząc, że miara kąta rozwartego jest dwa razy większa od miary kąta ostrego, oblicz obwód tego trapezu. Wykonaj rysunek pomocniczy.

Zadanie 4. (6 pkt)
Porównaj liczby \(\displaystyle{ 22^{55}}\) oraz \(\displaystyle{ 55^{22}}\).

Zadanie 5. (5 pkt)
Odległość między miejscowościami A i B wynosi 55 kilometrów. Z miejscowości A do miejscowości B wyjechał kolarz z pewną stałą prędkością. W 30 minut po nim w tym samym kierunku wyjechał samochód i po 10 minutach dogonił kolaraz. Samochód nie zatrzymując się, pojechał dalej z tą samą prędkością, dotarł do B i zaraz zawrócił. w drodze powrotnej po upływie godziny od wyjazdu z A spotkał ponownie kolarza. Wyznacz prędkość jazdy kolarza oraz samochodu.

Jak Wam poszło?

[gucio2]

Zamknięte proste ale z otwartymi trochę gorzej?
Masz może odpowiedzi?

[AVquiraniel]

1. Było dla mnie w miarę proste - wyszło mi \(\displaystyle{ -1 \frac{1}{12}}\) (trzeba było zrobić układ równań dla \(\displaystyle{ x=3}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}}\), tyle że nie wiem, czy mi na pewno dobry wynik wyszedł ~^).

2. Podstawa w kształcie trójkąta równoramiennego prostokątnego - od połowy boku do połowy boku. Dwie ściany w kształcie trójkątów prostokątnych, a jedna w kształcie trójkątna równoramiennego.

3. Tego nie zrobiłem do końca. ;p Ale wynik wynosi \(\displaystyle{ 25 \sqrt{3}}\). To akurat wiem na pewno, bo pytałem jednego z członków Komisji.

4. \(\displaystyle{ 22^{55} > 55^{22}}\) - trzeba było rozbić na części, dla mnie było proste.

5. Wartość prędkości kolarza wynosi 20 km/h, a samochodu - 80 km/h

Wszystkie wyniki (oprócz 3.) są moimi przypuszczeniami i mogą odbiegać od rzeczywistych.

[gucio2]

3. Przedłużyć ramiona trapezu, powstanie trójkąt równoboczny o wysokości równej długości przekątnej trapezu. Z tw. Talesa można obliczyć górną podstawę i dalej już prosto.
A to pierwsze?

[Sylwek]

A to pierwsze?

Niech: \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{x}}\), wtedy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} f ft( x \right) + 3 f ft( \frac{1}{x} \right) = x^{2} \\ f ft( \frac{1}{x} \right) + 3 f ft( x \right) = \frac{1}{x^2} \end{cases}}\)

Wystarczy dobrać współczynniki i pozbyć się \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ f(x)}\).

[fafner]

a jak zrobiles 4 AVquiraniel ?

[AVquiraniel]

\(\displaystyle{ 22^{55}=2^{55} \cdot 11^{55}}\)
\(\displaystyle{ 55^{22}=5^{22} \cdot 11^{22}}\)
Więc mamy:
\(\displaystyle{ 2^{55} \cdot 11^{55} > 11^{55} > 11^{44} = 11^{22} \cdot 11^{22} > 5^{22} \cdot 11^{22}}\), czyli \(\displaystyle{ 22^{55}>55^{22}}\)
Myślę, że to powinno wystarczyć.