Zadania z ciągów do udowodnienia

[judge00]

Niech \(\displaystyle{ S_{n}}\) oznacza \(\displaystyle{ n N}\) {0} sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ a_{n}}\). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest ciągiem o wyrazach dodatnich, to ciąg \(\displaystyle{ S_{n}}\) jest ciagiem rozącym.

[Zlodiej]

Wiemy, że \(\displaystyle{ S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n}\) oraz \(\displaystyle{ S_{n+1}=a_1+a_2+a_3+...+a_n+a_{n+1}}\)

Jeśli ciąg \(\displaystyle{ (S_n)}\) jest ciągiem rosnącym to zachodzi nierówność \(\displaystyle{ S_{n+1}-S_n>0}\)

Podstawiając na początku wypisane równości do tej nierówności otrzymujemy:

\(\displaystyle{ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}>0}\) co jest prawdą, ponieważ wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) są zawsze dodatnie.

C.N.D.