Całka - zadanie

[Triton]

Zadanie jest następujące

\(\displaystyle{ [\int] \frac{ \sqrt{1+4x} }{x}dx = 2 \sqrt{1+4x} + ln( \sqrt{1+4x}-1) - ln( \sqrt{1+4x}+1)}\)

A odpowiedz:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{1+4x} +2ln( \sqrt{1+4x}-1)-ln(x)+ C}\)
Jak widac odpowiedz rozni sie od mojej. Pomoze ktos?
Pozdro

[Qń]

Odpowiedź różni się tylko wizualnie, a w istocie jest to to samo, bo jak łatwo sprawdzić mamy:
\(\displaystyle{ \ln ( \sqrt{1+4x}-1) - \ln ( \sqrt{1+4x}+1) + C = 2\ln ( \sqrt{1+4x}-1)-\ln x -\ln 4 + C}\)

Q.

[Triton]

A mogłabym prosić ciebie lub kogokolwiek o rozbicie tego mojego rozwiązania doprowadzając do wyglądu z odpowiedzi??? Bo niestety, ale nie nie mam pojęcia jak to zrobić.
Z góry dziękuję.

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \ln ( \sqrt{1+4x}-1) - \ln ( \sqrt{1+4x}+1) + C = \ln ft( \frac{\sqrt{1+4x}-1)}{\sqrt{1+4x}+1}\right) +C}\)
\(\displaystyle{ 2\ln ( \sqrt{1+4x}-1)-\ln x -\ln 4 + C = \ln ft( \frac{(\sqrt{1+4x}-1)^2}{4x}\right)+ C}\)

Q.

[Triton]

Dzięki!
Teraz mam coś takiego:
\(\displaystyle{ [\int] \frac{dx}{ \sqrt{1-4x ^{2} } }}\) i wychodzi mi coś takiego: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2} arcsin \sqrt{1-4x^{2} }}\) i za chiny nie chce inaczej

Moje rozwiązanie wygląda nastepująco: \(\displaystyle{ \sqrt{1-4 x^{2} }= t ; itd. -4xdx=tdt}\) no i stawiam: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}[\int] \frac{tdt}{ \sqrt{1-t ^{2} }t } =}\) jak wyżej.

A odpowiedż jest taka:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} arcsin 2x +C}\)


Z góry dziękuje za pomoc.

[Szemek]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin \frac{x}{a}+C}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{1-4x^{2} } } = t \frac{dx}{2\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}} = \frac{1}{2} t \frac{dx}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2-x^{2}}} = \\ = \frac{1}{2} \arcsin \frac{x}{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{2} \arcsin 2x + C}\)

[Qń]

Znów obie odpowiedzi są identyczne, bo:
\(\displaystyle{ \arcsin \sqrt{1-4x^2} = \arccos 2x = \frac{\pi}{2} - \arcsin 2x}\)
czyli jeden i drugi wynik różnią się tylko o stałą.

Q.