Mam problem z takim rówaniem:
\(\displaystyle{ 2(\sqrt{2} - 1)^{3x}+5(\sqrt{2} - 1)^{2x} = 1}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Rozwiąż równanie wykładnicze
-
iwonkamat
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 2 mar 2005, o 23:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ruda Sląska
Rozwiąż równanie wykładnicze
Rozwiązanie:
Ten zapis jest równoważny zapisowi:
\(\displaystyle{ 2((\sqrt{2}-1)^x)^3+5((\sqrt{2}-1))^x)^2-1=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ t=(\sqrt{2}-1)^x}\)
Uzyskujemy:
\(\displaystyle{ W(t)=2t^3+5t^2-1=0}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, więc ten wielomian podzieli się przez \(\displaystyle{ (t+\frac{1}{2})}\).
W wyniku dzielenia otrzymamy:
\(\displaystyle{ W(t)=(t+\frac{1}{2})(2t^2+4t-2)=0}\)
Następnie otrzymujemy łącznie 3 rozwiązania (liczymy deltę i pierwiastki):
\(\displaystyle{ t_1=-\frac{1}{2},\, t_2=\sqrt{2}-1,\, t_3=-\sqrt{2}-1}\)
\(\displaystyle{ t_1\: i\: t_3}\) odrzucamy, ponieważ t musi być dodatnie.
\(\displaystyle{ t=(\sqrt{2}-1)^x=\sqrt{2}-1}\)
Czyli jest jedno rozwiązanie x=1.
Pozdrawiam
Ten zapis jest równoważny zapisowi:
\(\displaystyle{ 2((\sqrt{2}-1)^x)^3+5((\sqrt{2}-1))^x)^2-1=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ t=(\sqrt{2}-1)^x}\)
Uzyskujemy:
\(\displaystyle{ W(t)=2t^3+5t^2-1=0}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, więc ten wielomian podzieli się przez \(\displaystyle{ (t+\frac{1}{2})}\).
W wyniku dzielenia otrzymamy:
\(\displaystyle{ W(t)=(t+\frac{1}{2})(2t^2+4t-2)=0}\)
Następnie otrzymujemy łącznie 3 rozwiązania (liczymy deltę i pierwiastki):
\(\displaystyle{ t_1=-\frac{1}{2},\, t_2=\sqrt{2}-1,\, t_3=-\sqrt{2}-1}\)
\(\displaystyle{ t_1\: i\: t_3}\) odrzucamy, ponieważ t musi być dodatnie.
\(\displaystyle{ t=(\sqrt{2}-1)^x=\sqrt{2}-1}\)
Czyli jest jedno rozwiązanie x=1.
Pozdrawiam