Trapez i okrąg

[AgnieszkaP]

Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość \(\displaystyle{ \frac{3}{2}r}\). Oblicz pole tego trapezu oraz stosunek długości jego przekątnych.

[blost]

\(\displaystyle{ 3/2 r + 3/2r + x = 2r + y}\)
\(\displaystyle{ y ^{2}= x ^{2} (2r) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x ^{2} 4r^{2} }}\)
\(\displaystyle{ 3r + x = 2r + \sqrt{x ^{2} 4r^{2}}\)
\(\displaystyle{ (r+x) ^{2}=( \sqrt{x ^{2} 4r^{2}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2xr=3r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2x=3r}\)
\(\displaystyle{ x=1,5r}\)
x< oznaczyłem tym długość dłuższego boku minus długość krutszego boku
czyli mamy obliczony ten dłuższy bok
\(\displaystyle{ P= \frac{a+b}{2} h}\)
przekątne oblicz z tw pitagorasa

[lukasz1804]

Tym najkrótszym bokiem trapezu jest krótsza jego podstawa, bowiem ramię prostopadłe do podstaw ma długość \(\displaystyle{ 2r}\)a a ramię pochyłe jest na pewno jeszcze dłuższe (jako przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym, którego jedna z przyprostokątnych ma długość \(\displaystyle{ 2r}\)).
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a, c}\) długość dłuższej podstawy i pochyłego ramienia trapezu odpowiednio.
Wówczas z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy \(\displaystyle{ (a-\frac{3}{2}r)^2+(2r)^2=c^2}\).
Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, to \(\displaystyle{ a+\frac{3}{2}r=c+2r}\). Stąd \(\displaystyle{ c=a-\frac{1}{2}r}\), więc z poprzedniego mamy \(\displaystyle{ (a-\frac{3}{2}r)^2+(2r)^2=(a-\frac{1}{2}r)^2}\). W konsekwencji mamy \(\displaystyle{ 3ar-ar=4r^2+\frac{9}{4}r^2-\frac{1}{4}r^2=6r^2}\), czyli \(\displaystyle{ a=2r}\). Zatem ze wzoru na pole trapezu mamy

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}(a+\frac{3}{2}r)\cdot 2r=\frac{7}{2}r^2}\).

Mając wyznaczone długości \(\displaystyle{ a, c}\) z twierdzenia Pitagorasa dostajemy długości przekątnych: \(\displaystyle{ d_1=\sqrt{(2r)^2+(\frac{3}{2}r)^2}=\sqrt{4r^2+\frac{9}{4}r^2}=\sqrt{\frac{25}{4}r^2}=\frac{5}{2}r}\) oraz \(\displaystyle{ d_2=\sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2r\sqrt{2}}\).