udowodnij indukcyjnie nierówność

[kingataranek]

jak udowodnic indukcyjnie, ze
\(\displaystyle{ (1+10^{-1})(1+10^{-2})...(1+10^{-n}) q 2}\) dla kazdej liczby calkowitej \(\displaystyle{ n q 1}\)?
chodzi o druga czesc dowodu, tzn ze jest to prawda dla n+1

[Piotr Rutkowski]

Tej nierówności nie udowodnisz indukcyjnie, ponieważ przy przejściu z kroku n-tego do n+pierwszego jedna ze stron pozostaje stała. To co się często robi w takiej sytuacji, to udowadnia nierówność silniejszą, tzn.:
\(\displaystyle{ (1+10^{-1})(1+10^{-2})...(1+10^{-n}) q 2-\frac{1}{n}}\)
Teraz powinno bez problemu Ci wyjść

[kingataranek]

A nie + 1/n , przeciez jesli n=1 wtedy 2 - 1/n = 1, jesli cos jest mniejsze od 2 to wcale nie znaczy ze jest mniejsze od 1.

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ \forall_{a\in R \ n\in N } \ (a\leq 2-\frac{1}{n})\Rightarrow (a\leq 2)}\)
Akurat dla n=1 tutaj ta silniejsza nierówność nie zachodzi, więc przypadek n=1 rozważamy oddzielnie.
Dowód ma w przybliżeniu wyglądać tak:
Sprawdzamy dla n=2
Robimy założenie:
\(\displaystyle{ (1+10^{-1})(1+10^{-2})...(1+10^{-n}) q 2-\frac{1}{n}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ (1+10^{-1})(1+10^{-2})...(1+10^{-n})(1+10^{-n-1})\leq (2-\frac{1}{n})(1+10^{-n-1})}\)
Zatem nalezy udowodnić:
\(\displaystyle{ (2-\frac{1}{n})(1+10^{-n-1})\leq 2-\frac{1}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{10^{n+1}}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n*10^{n+1}}+\frac{1}{n+1}\leq 0}\)
\(\displaystyle{ 2n(n+1)+n*10^{n+1}-(n+1)*10^{n+1}-(n+1)\leq 0}\)
\(\displaystyle{ 10^{n+1}\geq 2n^{2}+n-1}\), co jest oczywiste, ale dowód dowodu należy jeszcze uzupełnić pomocniczo o kolejną indukcję (tzn. dowieść powyższą nierówność)
Podsumowując, otrzymaliśmy, że:
\(\displaystyle{ \forall_{n\geq 2} \ (1+10^{-1})(1+10^{-2})...(1+10^{-n}) q 2-\frac{1}{n}}\)
Oczywistym jest też fakt, że \(\displaystyle{ \forall_{n\in N}2-\frac{1}{n}\leq 2}\)
Zatem otrzymaliśmy tezę zadania c.b.d.u.