[LIX OM] - Etap II

[HawaT]

W tym roku nie bylo darmowych zadan jak w zeszlym 1 i 4. Geometrie rzeczywiscie byly dosc proste. Co do ostatniego zadania to zeszloroczna nierownosc byla nico trudniejsza niz zadanie 6 z tego roku ale z tego co wiem porownywalna liczba osob zrobila 6 w tym roku do tej ktora zrobila nierownosc w tamtym. Uwazam ze prog bedzie mniejszy niz rok temu ale wyzszy niz dwa lata temu czyli okolo 14-16 ptk

[TheButcher]

a dlaczego sadzisz ze to nie on ???

Bo mam IQ 203 i od razu rozpoznam czy pisze to osoba również z IQ wyższym niż 200. Po prostu to czuję. Tak samo jest ze słuchem absolutnym - po prostu wie się jaki dźwięk się słyszy.

Za nawet pozornie niewielki, mało znaczący "blef" mogą ściąć do 2 pkt i nawet do 0 (zależy to od okręgu i od widzimisie sprawdzającego) Jeśli ktoś pisze, że próg bedzie >18 to raczej ma kłopoty z osobowością lub bierze w OM udział po raz pierwszy.

[Piotr Rutkowski]

(zresztą najlepiej będzie wiedział andkom bo sprawdzał to zadanie:) )

Taa, też prawda. Tak w ogóle Piotrek to muszę Ci pogratulować zadania 4 (bardzo ładny dowód ). Co do 3 to chyba sprawdzenia raczej nikt chyba nie zapomniał (co nie znaczy, że nie było cięte )

[mazur89]

mazur89, pewnie mało Cię to interesuje, ale czy mógłbyś napisać jaki próg obstawiasz?

Trzy niepełne zadania (15-17).

a dlaczego sadzisz ze to nie on ???

Bo mam IQ 203 i od razu rozpoznam czy pisze to osoba również z IQ wyższym niż 200. Po prostu to czuję. Tak samo jest ze słuchem absolutnym - po prostu wie się jaki dźwięk się słyszy.

Masz rację, nie mam IQ powyżej 200. Nie wiem jednak, skąd przypuszczenie, że Przemek Mazur jest AŻ TAK inteligentny. Po prostu nieźle idzie mi rozwiązywanie zadań.

[GRZECH]

Zastanawiam się po co ktoś miałby się podszywać pod Przemka Mazura? Jaki miałby z tego zysk? Także takie dywagacje czy to on czy nie on nie mają chyba zbyt dużego sensu. A przynajmniej podał jakaś merytoryczną uwagę, która notabene bardzo mnie cieszy jeżeli będzie prawdziwa (chodzi oczywiście o próg) .

Ciekawi mnie ten bardzo ładny sposób rozwiązania czwartego zadania...

[qjon]

Tak w ogóle Piotrek to muszę Ci pogratulować zadania 4 (bardzo ładny dowód ).

łoo, a skąd wiesz jak rozwiązałem zadanie 4? nie pokazywałem na omówieniu przecież...

(zależy to od okręgu i od widzimisie sprawdzającego)

z tego co wiem, to oceny są ujednolicane przez komitet główny, więc takie coś na pewno nie ma miejsca na II etapie. może się zdarzyć na etapie I, gdzie te same rozwiązania zostaną inaczej ocenione w różnych okręgach, jednak każdy okręg ustala swój próg, więc wszystko jest ok.

[tomek1717]

Jak myślicie czy mogą mi coś odjąć za to, że: w zad.2 najpierw ładnie udowodniłem, że EC jest prostopadłe do AD a potem napisałem, że analogicznie BD jest prostopadłe do AC (dowód tego byłby identyczny)? Poza tym czy mogą mi w zad.5 rozwiązywanym analitycznie odjąć coś gdybym na samym końcu przez przypadek źle pomnożył np. 2 wyrazy (zaznaczam, że absolutnie nie zmienia to poprawności całego rozwiązania)?

[HawaT]

Z tego co wiem to komisje bardzo lubia sie czepiac rozwiazan analitycznych. Kuczma mowil ze jesli widzi rozwiazanie geometryczne i jest tam jakis blad lub jakis przypadek nie rozpatszony to lagodniej oceniaja. Jesli widzi rozwiazanie analityczne i jest jakis blad to ostro leca punktami - poprostu sa za tym zeby geometrie rozwiazywac geometrycznie.

[Piotr Rutkowski]

łoo, a skąd wiesz jak rozwiązałem zadanie 4? nie pokazywałem na omówieniu przecież...

Ale za to na omówieniu andkom coś mówił o uogólnieniu kwadratu na prostokąt m na n i mówił, że na razie problem jest nierozwiązany...
Dwa dni później na kółku matematycznym nawiązał właśnie do Twojego rozwiązania jako sposób rozwiązania przypadku ogólnego
Mi się bardzo podobał dowód, taki po prostu inny

[Dumel]

Mógłbyś troche dokładniej opisać Dumel? Bo na razie to ja 0 ptk widze../

taa ja ci dam zaraz 0 punktów
jeszcze raz:
podstawiłem x=y=0 --> f(0) = 0
potem tylko x=0 --> f(f(y)) = f(-y)
i teraz sprawdziłem że f(y) = -y spełnia warunki zadania (***)
a potem podstawiłem
y=f(x) --> f(f(x)) = -x + f( f(f(x)) - f(-y) ) = -x + f(0) = -x
co stanowi potwierdzenie że f(x) = -x jest jedyną funkcją spełniającą warunki zadania
i właśnie mogłem pominąć krok (***) i byłoby bardziej elegancko

[przemk20]

qjon A moglbys pokazac tak w skrocie jak robiles to 4??

[qjon]

qjon A moglbys pokazac tak w skrocie jak robiles to 4??

Więc w skrócie:
Lemat 1:
Operacja jest przemienna.
Dowód:
z grubsza wynika to z przemienności dodawania. ja generalnie rozpatrzyłem dość dużą liczbę przypadków.
Lemat 2:
Jeśli wykonamy operację po razie z każdego pola to wrócimy do stanu pierwotnego. (to dość oczywiste jest)

Wróćmy do zadania. Przeprowadzam dowód nie wprost. Zakładam, że dla każdej konfiguracji tablicy istnieje zestaw operacji który pozwala wyzerować.

Weźmy sobie teraz taką tablicę: kolorujemy ją na biało-czarno tak jak szachownicę, zaczynając czarnym kolorem w lewym górnym rogu. W każde czarne pole wpisujemy -1, a w białe 1 (dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego w jedno białe pole wpisujemy 2, tak żeby suma była równa 0).

Zgodnie z naszym założeniem istnieje pewien zestaw operacji, który pozwoli na wyzerować tablicę. Weźmy sobie najkrótszy taki zestaw. Zauważmy, że nie występuje w nim operacja wykonana z pewnego pola, bo gdyby z każdego pola wykonano przynajmniej jedną operację, to na mocy lematów po wywaleniu pewnych \(\displaystyle{ n^2}\) operacji otrzymalibyśmy taką samą tablicę, czyli wyzerowaną, czyli ten zestaw nie byłby najkrótszy.

Z każdego pola białego musi zostać wykonana operacja, bo jest to jedyny sposób na zmniejszenie liczby na danym polu, a na polach białych są liczby dodatnie. W takim razie z pewnego pola czarnego nie została wykonana operacja. Ale każde pole czarne ma co najmniej dwóch sąsiadów biały(i tylko białych), czyli po wykonaniu operacji z każdego pola białego, na każdym polu czarnym na którym nie była wykonywana jeszcze operacja, będzie liczba równa co najmniej 1(ma co najmniej dwóch sąsiadów, z każdego wykonano co najmniej jedną operację, więc liczba na czarnym polu zwiększyła się o co najmniej 2). więc musimy wykonać operację z każdego pola czarnego, żeby wyzerować tablicę, co skolei przeczy temu, że z pewnego pola nie wykonano operacji. Otrzymana sprzeczność dowodzi temu, że dla każdego n, istnieje pewna konfiguracja początkowa tablicy, której nie można wyzerować.

UWAGA: rozwiązania bardziej skomplikowane, jednak działa również dla tablicy prostokątnych

[TheButcher]

Niepotrzebne komplikacje. Przecież, jak kolorujesz tablicę jak szachownicę to zauważ, że
(suma liczb na polach czarnych) - (suma liczb na polach białych) = const - i właściwie już.

[qsiarz]

hmm rozwiazanie ciekawe, szczerze mowiac rozpatrzalem to ze po n^2 ruchach bedzie powrot do stanu poczatkowego, ale nie probowalem nie-wprost bo jakos nie przemawia to do mnie. a co do standartowego rozwiazania wystarczy troche zmodyfikowac i zamiast przekatnej rozpatrzec taki zbior pol (pokolorowac je) zeby kazde pokolorowane mialo parzysta ilosc niepokolorowanych sasiadow i tez zagra wszystko.

[qjon]

(suma liczb na polach czarnych) - (suma liczb na polach białych) = const

raczej nie... suma jest stała, a to niewiele nam daje