granica ciągu

[dd0_0bb]

dany ciąg to :
\(\displaystyle{ a _{n} = \frac{3^{n+1}\cdot sinn}{n^{n}}}\)

[natkoza]

powinno wyjść ładnie z tw. o 3 ciągach

[dd0_0bb]

no ok ale rozwiń;p

[Wasilewski]

Może tak:
\(\displaystyle{ -1 qslant sin(n) qslant 1 \\
0 \frac{-3^{n+1}}{n^n} qslant \frac{3^{n+1} sin(n)}{n^n} qslant \frac{3^{n+1}}{n^n} 0}\)

[dd0_0bb]

no dobra a gdzie masz dowód ze (3^n+1)/n^n dązy do zera? my oboje to wiemy ale to trzeba udowadniac i włąsnie nie wiem jak

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ \frac{3^{n+1}}{n^n} = 3 ft(\frac{3}{n}\right)^n}\)
Zajmę się granicą drugiego członu (udowodnię, że jest równa 0 z definicji):
\(\displaystyle{ |\left(\frac{3}{n}\right)^n| < \varepsilon \\
ft(\frac{3}{n}\right)^n < \varepsilon}\)
Teraz pokażę, że od n=3 zachodzi pewna nierówność:
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{n}\right)^n qslant \frac{3}{n} qslant 1 \\
ft(\frac{3}{n}\right)^{n-1} qslant 1}\)
(Załóżmy, że pokazałem ) Czyli wracając do granicy mamy:
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{n}\right)^n qslant \frac{3}{n} < \varepsilon}\)
A tę drugą łatwo udowodnić obierając: \(\displaystyle{ n_0 = \frac{3}{\varepsilon}}\)