Prostokąt i trójkąt

[AgnieszkaP]

W prostokącie ABCD, w którym stosunek długości boków AB i BC jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów ADB i BDC. Dwusieczne te przecinają boki AB i CB odpowiednio w punktach K i M. Oblicz stosunek pola prostokąta ABCD do trójkąta DKM.

[Swistak]

Skorzystajmy z tego rysunku:

AU

prostokat.jpg (12.02 KiB) Przejrzano 546 razy

.
Oznaczmy długość odcinka AD jako 3a, a odcinka AB jako 4a. Pole prostokata ABCD wynosi zatem \(\displaystyle{ 12a^{2}}\). Z twierdzenia Pitagorasa widzimy, że przekątna DB ma długość 5a. Z twierdzenia o dwusiecznej w trójkącie wnioskuję, że \(\displaystyle{ \frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|DA|}{|DB|}}\) z czego wynika, że AK=1,5a i KB=2,5a. Stosując to samo twierdzenie dla trójkąta BCD analogicznie wyliczam, że \(\displaystyle{ CM=\frac{4}{3}a}\) i \(\displaystyle{ MB=\frac{5}{3}a}\). Pole trójkąta DKM równa się \(\displaystyle{ P _{ABCD} - (P _{DCM}+P _{KMB}+P _{DAK}=12a^{2}-(\frac{8}{3}a^{2}+\frac{25}{12}a^{2}+\frac{9}{4}a^{2})=12a^{2}-(\frac{32+25+27}{12}a^{2})=12a^{2}-7a^{2}=5a^{2}}\). Stosunek pola prostokąta ABCD to pola trójkąta DKM jest, wiec równy zatem \(\displaystyle{ \frac{12a^{2}}{5a^{2}}=\frac{12}{5}=2,4:1}\).

[mat1989]

Z twierdzenia o dwusiecznej w trójkącie wnioskuję, że \(\displaystyle{ \frac{|AK|}{|KB|}=\frac{|DA|}{|DB|}}\) z czego wynika, że AK=1,5a i KB=2,5a.

mógłbyś to rozwinąć? bo niestety mam mały problem ze zrozumieniem.

[Swistak]

No jest takie twierdzenie, że jak mamy trójkąt DAB i prowadzimy dwusieczną kąta ADB, która przecina bok AB w punkcie K to zachodzi taka zależność jaką napisałem, a wiemy, że DA=3a, DB=5a i AK+KB=4a.

[mat1989]

ok, widzę już wszystko, tylko przedtem się trochę pogubiłem w oznaczeniach, dzięki