Kilka zadań o trójkątach

[AgnieszkaP]

1. W trójkącie równoramiennym kąt przy postawie ma miarę alfa. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia kręgu opisanego na nim.

2. Ramię trójkąta równoramiennego jest dwa razy dłuższe od podstawy. Suma długości promieni okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 11. Oblicz długość podstawy trójkąta.

3. Dwa boki trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu R są odpowiednio równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} R}\) i \(\displaystyle{ R \sqrt{3}}\). Oblicz długość trzeciego boku.

4. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość h i jest 5 razy krótsza od obwodu tego trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta.

5. W prostokącie ABCD, w którym stosunek długości boków AB i BC jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów ADB i BDC. Dwusieczne te przecinają boki AB i CB odpowiednio w punktach K i M. Oblicz stosunek pola prostokąta ABCD do trójkąta DKM.

[Tormoz]

3.

Wpisz trójkąt w okrąg. Kąty w nim oznacz np. \(\displaystyle{ \alpha}\),\(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\). Bok na przeciwko kąta o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacz jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}R}\). Bok na przeciwko kąta o mierze \(\displaystyle{ \beta}\) oznacz jako \(\displaystyle{ R\sqrt{3}}\). Bok na przeciwko kąta o mierze \(\displaystyle{ \gamma}\) oznacz jako \(\displaystyle{ x}\).
Następnie zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{R\sqrt{3}}{\sin \beta}=2R}\)
\(\displaystyle{ R\sqrt{3}=2R\cdot \sin \beta}\)
\(\displaystyle{ \sin \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Następnie skorzystaj z jedynki trygonometrycznej i wylicz wartości \(\displaystyle{ \cos \beta}\). Następnie skorzystaj z tw. cosniusów.