Ekstremum i monotoniczność

[konradwseiz]

Znaleźć ekstrema i przedziały monotoniczności...

\(\displaystyle{ f(x)=e ^{x} (x ^{2} +3x+1)}\)

Za każdą pomoc - punkt

[scyth]

przestań się reklamować tymi punktami :/
a co do zadania to w czym problem? umiesz policzyć pochodną? liczysz ją najlepiej z pochodnej złożenia, upraszczasz i już będzie łatwo. jak gdzieś utknąłeś to pokaż swoje obliczenia.

[konradwseiz]

Jestem studentem zaocznym z pochodnej miałem tylko 2 godziny zajęć nigdy przedtem się tego nie uczyłem więc do wielu rzeczy muszę dochodzić właśnie takimi pytaniami. Nie chcesz pomagać ? Nie musisz. A o punkty niektórzy czasami upominają się przez PW więc tutaj pisze jasno, że odwdzięczę się punktem bo wielu osobom na tym zależy.


pochodna:
\(\displaystyle{ e ^{x} (x ^{2} +3x+1)+e ^{x} (2x+3)}\)

mam więc:

\(\displaystyle{ x ^{2} +3x+1+2x+3=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} +5x+1=0}\)



Dalej nie czaje...

[scyth]

miejsca zerowe pochodnej to punkty w których MOŻE znajdować się ekstremum. 0 musisz je znaleźć

związek między pochodną a monotonicznością jest taki, że jeśli pochodna jest większa od 0 to funkcja jest rosnąca, jeśli pochodna jest mniejsza od 0 to funkcja jest malejąca - musisz wyznaczyć te przedziały i będą to przedziały monotoniczności

jeśli pochodna zmienia znak z + na - oznacza to, że do tego punktu (którego wyznaczyłeś) funkcja najpierw rośnie a potem maleje - jest tam zatem maksimum lokalne
minimum jest w sytuacji gdy pochodna zmienia znak z - na +
jeśli pochodna zeruje się ale nie zmienia znaku to jest tam punkt przegięcia

[konradwseiz]

Teorię rozumiem, ale jak wyznaczyć dla jakiej wartości x=0 nadal nie...

[scyth]

nie umiesz rozwiązać równania kwadratowego? przecież sam je napisałeś (pomyliłeś się przy dodawaniu przy okazji)
\(\displaystyle{ x^2+5x+4=0}\)

[Damiano]

ekstrema lokalne: najprosciej robic tym algorytmem:
pochodna funkcji
pozniej \(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
wyznaczasz x dla ktorej powyzsze rownanie jest ok.
Nastepnie obliczasz \(\displaystyle{ f''(x)}\)
i do drugiej pochodnej podstawiasz wiliczone punkty krytyczne, jezeli
a)\(\displaystyle{ f''(x _{0})>0}\)to mamy tutaj min. lokalne
b)\(\displaystyle{ f''(x _{0}) \sqrt{21} }{2}}\)

\(\displaystyle{ f''(x)=2x+5}\)
po obliczeniu drugiej pochodnej i podstawiamy obliczone pierwiastki
\(\displaystyle{ f''(x _{1,2} )=2 \frac{-5 \sqrt{21} }{2}+5}\)
\(\displaystyle{ f''(x _{1,2} )=\pm \sqrt{21}}\)
juz widac kiedy jest dodat. a kiedy ujemna i tam jest min, max

[scyth]

dobrze wyliczyles pochodna, teraz wystarczy rozwiazan rownanie kwadratowe
\(\displaystyle{ x ^{2} +5x+1=0}\)

no raczej to jest źle policzone.
poza tym nieraz jest prościej patrzeć na znak pierwszej pochodnej niż liczyć drugą (co nieraz może byc dośc trudne). Dodatkowo skoro i tak trzeba wyznaczyć przedziały monotoniczności to już zupełnie nie ma sensu liczenie drugiej pochodnej.

[Damiano]

teraz monotoicznosc.
robimy tak obliczamy pochodna:
\(\displaystyle{ f'(x)}\)
i sprawdzamy dla jakich przedzialow pochodna jest dodatnia a dla jakich ujemna,
wykorzystujemy zadnie poprzednie i widzimy ze mamy dwa pukty krytyczne a nasza pochodna zachowuje sie jak parabola ramionami skierowana do gory. Pukty przecia z osia wyznaczylismy sa to \(\displaystyle{ x _{1,2}}\)i jak latwo zauwazyc nasze przedzialy wygladaja tak:
f rosnaca\(\displaystyle{ (- ;x _{1})\cup(x _{2};+ )}\)
f malejaca\(\displaystyle{ ( x _{1}; x _{2})}\)
punkty \(\displaystyle{ x _{1,2}}\) to sa pkt. przegiecia (chyba)
pozdro

[ Dodano: 21 Lutego 2008, 12:00 ]
faktycznie z lenistwa nie zauwazylem bledu rachunkowego, ale nie wplywa on na zadanie nawet staje sie latwiejsze bo delta rowna sie 9 i mamy ladne szkolne zadanie.
PS popraw tylko: pod pierwiastkiem daj 9 i bedzie wsio oK:]

[scyth]

Damiano, z tego, co napisałeś, wynika jednoznacznie (i wynik się zgadza), że \(\displaystyle{ x_1}\) to maksimum a \(\displaystyle{ x_2}\) to minimum.

[konradwseiz]

\(\displaystyle{ x ^{2} +5x+4=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=9}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=3}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{-5+3}{2} = \frac{-2}{2} =-1}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-5-3}{2} = \frac{-8}{2} =-4}\)

Więc z tego co piszecie wyżej:

f. rosnąca \(\displaystyle{ (-\infty;-1) \cup (-4;+\infty)}\)
f. malejąca \(\displaystyle{ (-1) \cup (-4)}\)

tak?

[scyth]

od kiedy \(\displaystyle{ -1 < -4}\)?
rosnąca dla \(\displaystyle{ x (-\infty,-4) \cup (-1,\infty)}\)
malejąca dla \(\displaystyle{ x (-4,-1)}\)
ekstrema jak napisałem wyżej.

[ Dodano: 21 Lutego 2008, 15:48 ]
tak na marginesie:
reklamujesz się a gdzie te plusy?