[LIX OM] - Etap II

[adamadam]

to jest właśnie na tej informacji dla szkoły. Zawody się każdego dnia rozpoczynają o 9.00

Dzięki za info

I czy istnieje rozwiazanie(bez blefa) inne niz zaproponowane na stronie OM-a? z jensena albo cos innego...

\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{ \frac{1+x^{3}}{2}}}\)

[matex_06]

to dokoncz rozwiazanie

[Kobcio]

U mnie na okręgu rok temu był jeden co zrobił tą nierówność Jensenem i chyba właśnie tak jak to proponuje adamadam, ale nie pamiętam dokładnie

A ja proponuję na ten rok taki może zestaw:
1. Teoria liczb
2. Układ równań
3. Geometria trójkąta
4. Wielomian
5. Kombinatoryka
6. Geometria okręgu

Geometria może być o ile nie pojawia się tam czworo- lub więcej kąt a najmilsze jest z okręgami

[adamadam]

to dokoncz rozwiazanie

Proszę bardzo.

Rozważamy funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{ \frac{1+x^{3}}{2}}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{2\cdot x}{ \sqrt[3]{2\cdot (x^3+1)^5} }>0}\)
Polecam pewien dostępny w necie kalkulatorek pochodnych
Zatem \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła dla \(\displaystyle{ x>0}\)
Dalej mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{a^3+b^3}{2} }+ \sqrt[3]{ \frac{b^3+c^3}{2} }+ \sqrt[3]{ \frac{c^3+d^3}{2} }+ \sqrt[3]{ \frac{d^3+a^3}{2} } = a\cdot \sqrt[3]{ \frac{1+ (\frac{b}{a}) ^3}{2} }+ b\cdot \sqrt[3]{ \frac{1+ (\frac{c}{b}) ^3}{2} }+ c\cdot \sqrt[3]{ \frac{1+ (\frac{d}{c}) ^3}{2} }+ d\cdot \sqrt[3]{ \frac{1+ (\frac{a}{d}) ^3}{2} } =a\cdot f( \frac{b}{a})+b\cdot f( \frac{c}{b})+ c \cdot f( \frac{d}{c})+ d \cdot f( \frac{a}{d})}\).
Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ S=a+b+c+d}\) nierówność do udowodnienia mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{S} \cdot f( \frac{b}{a})+\frac{b}{S} \cdot f( \frac{c}{b})+ \frac{c}{S} \cdot f( \frac{d}{c})+ \frac{d}{S} \cdot f( \frac{a}{d}) \leqslant 2 - \frac{4}{S}}\)
Na mocy nierówności Jensena:
\(\displaystyle{ \frac{a}{S} \cdot f( \frac{b}{a})+\frac{b}{S} \cdot f( \frac{c}{b})+ \frac{c}{S} \cdot f( \frac{d}{c})+ \frac{d}{S} \cdot f( \frac{a}{d}) \leqslant f(\frac{a}{S}\cdot \frac{b}{a} + \frac{b}{S}\cdot \frac{c}{b} + \frac{c}{S}\cdot \frac{d}{c} + \frac{d}{S}\cdot \frac{a}{d} )=f(1)=1}\)
Czyli pozostaje udowodnić:
\(\displaystyle{ 1 \leqslant 2-\frac{4}{S}}\)
Ze średnich:
\(\displaystyle{ \frac{4}{S} \leqslant \frac{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} }{4} =1}\)
to tyle.

/Edit
Jednak ten dowód jest zły . Jak zwykle w złą stronę zastosowałem tego Jensena :>

A ja proponuję na ten rok taki może zestaw:
1. Teoria liczb
2. Układ równań
3. Geometria trójkąta
4. Wielomian
5. Kombinatoryka
6. Geometria okręgu

Zamiast kombinatoryjki nierówność i by było spoko

[HawaT]

Nierownosc posrednia ktorej uzyli w rozwiazaniu firmowym jest szczegolnym przypadkiem faktu znanego w necie jako Lemat Mildorfa. Wziac rozwiazanie tego z powietrza to hardcore ale znajac ten lemat - odrazu idzie . Ja wolalbym nierownosc od rownania na tegorocznym II etapie.

[Flesiu]

czy na zawodach można mieć kalkulator i jeżeli tak to jaki ??

[zaudi]

jako Lemat Mildorfa

Nic takiego nie mogę znaleźć .

[TomciO]

To nic dziwnego bo Mildorf to po prostu jeden z uzytkownikow .

[Einstein ;)]

@Flesiu
W czasie zawodów nie wolno korzystac z kalkulatorów, telefonów komórkowych
i innych urzadzen elektronicznych

wszystko na

[HawaT]

Wpisz w google Mildorf inequality - pierwsze co wyskoczy w pdf to taki zbiorek o nierownosciach jego, tam pod koniec pojawia sie ten lemat. Jezeli chcesz Lemat z dowodem to wpisz "mildorf inequality bound" czwarty link to ten lemat razem z dowodem.

[ Dodano: 21 Lutego 2008, 14:29 ]
No to wybieram sie na autobus powoli:) Powodzenia wszystkim forumowiczom - ale przedewszystkim zycze powodzenia sobie

[Natalia:)]

I jak wam poszło ?

Mi udało się zrobić zadanie 2 - geometrię;
zadanie 3 - doprowadziłam wzór do postaci (po wyznaczeniu f(0)=0) f(f(x))=f(-x) - ile mogę dostać za to pkt? 2?

ogólnie jestem zadowolona Myślałam że będzie zdecydowanie gorzej, tym bardziej że mam jeszcze 2 lata

[schmude]

Mam zad. 1

Sprawdziłem że x^3 +2y^2 nigdy nie może dać reszty z dzielenia przez 8: 4,6
Wobec tego najdłuższy możliwy ciąg to liczby które dają reszty: 7,0,1,2,3
Np. -1, 0, 1, 2, 3


W zad. 2 zauważyłem tylko kilka czworokątów, na których można opisać okręgi

Zad. 3

Założyłem, że podana funkcja jest wielomianem (to jest małe niedomówienie ale może 2 pkt będą.)

Wówczas f(k) jest wielomianem n-tego stopnia, a f(f(l)) n^2 stopnia, dla dowolnych n,k.

Mamy, że x=f(f(x)-y) - f(x) - f(f(y) - f(-y))
Czyli, że x jest równe wielomianowi n^2 stopnia, czyli n=1.
Niech teraz f(p)=ap+b

Otrzymujemy:

f(ax+b-y) = ax + b + f(ay + b - (-ax + b)) + x
(a^2)x + ab - ay + b = ax + b + f(a(x+y)) + x
(a^2)x + b(a+1) - ay = ax + b + (a^2)x + (a^2)y + b + x
0 = x(a+1) +ay(a+1) - b(a+1) + 2b
0=(a+1)(x+ay-b) + 2b

To wyrażenie ma być równe 0 dla każdych rzeczywistych x,y. Zatem to, że się równa zero zależy tylko od a,b. Zatem

a+1=0 => a=-1
2b=0 => b=0

ostatecznie f(k)=-k

[Mat2]

Ja niestety zachorowałem i nie mogłem pojechać na II etap, ale pewnie bym i tak niewiele zrobił. Mój kolega (III klasa) mówił, że było ciężko i zrobił jedno zadanie.

Wrzuć zadania na forum

[schmude]

Mam zad. 1

Sprawdziłem że x^3 +2y^2 nigdy nie może dać reszty z dzielenia przez 8: 4,6
Wobec tego najdłuższy możliwy ciąg to liczby które dają reszty: 7,0,1,2,3
Np. -1, 0, 1, 2, 3


W zad. 2 zauważyłem tylko kilka czworokątów, na których można opisać okręgi

Zad. 3

Założyłem, że podana funkcja jest wielomianem (to jest małe niedomówienie ale może 2 pkt będą.)

Wówczas f(k) jest wielomianem n-tego stopnia, a f(f(l)) n^2 stopnia, dla dowolnych n,k.

Mamy, że x=f(f(x)-y) - f(x) - f(f(y) - f(-y))
Czyli, że x jest równe wielomianowi n^2 stopnia, czyli n=1.
Niech teraz f(p)=ap+b

Otrzymujemy:

f(ax+b-y) = ax + b + f(ay + b - (-ax + b)) + x
(a^2)x + ab - ay + b = ax + b + f(a(x+y)) + x
(a^2)x + b(a+1) - ay = ax + b + (a^2)x + (a^2)y + b + x
0 = x(a+1) +ay(a+1) - b(a+1) + 2b
0=(a+1)(x+ay-b) + 2b

To wyrażenie ma być równe 0 dla każdych rzeczywistych x,y. Zatem to, że się równa zero zależy tylko od a,b. Zatem

a+1=0 => a=-1
2b=0 => b=0

ostatecznie f(k)=-k

[Dumel]

Mam zad. 1
Sprawdziłem że x^3 +2y^2 nigdy nie może dać reszty z dzielenia przez 8: 4,6
Wobec tego najdłuższy możliwy ciąg to liczby które dają reszty: 7,0,1,2,3
Np. -1, 0, 1, 2, 3

W zad. 2 zauważyłem tylko kilka czworokątów, na których można opisać okręgi

Zad. 3
[...]ostatecznie f(k)=-k

zad. 1 mam identycznie - 2 godziny męczyłem się z kongruencjami i nic, a potem wpadłem na ten sam pomysł, z godzine go dusiłem i skończyłem 3 minuty przed czasem
zad. 2 tak jak myślałem z geometrii nic nie wycisnąłem. posiedziałem pół godziny i dałem sobie spokój
zad. 3 wyszło mi f(f(x)) = f(-x)
i z tego f(x) = -x, potem jeszcze coś tam podstawiłem i wykazałem że to jedyne rozwiązanie, bo teoretycznie jakieś inne mogłoby sie znaleźć

ogólnie jestem bardzo zadowolony

jak myślicie: czy próg w tym roku znowu przekroczy 3 zadania?
jutro na bank bedzie stereometria, kombinatoryka i nierówność - będzie dobrze

a tak poza tym to tak jak ty pisałem w Toruniu