ciąg arytmetyczny i logarytmy

[at_new]

dla jakich wartości x liczby: log 1, log (2^x - 1), log (2^x +5) tworzą ciąg arytmetyczny?
Oblicz siódmy wyraz tego ciągu.

[bisz]

\(\displaystyle{ log(2^{x}-1) - log(1) = log(2^{x}+5)-log(2^{x}-1)}\)
\(\displaystyle{ log(2^{x}-1) -log(2^{x}+5)- 10 = -log(2^{x}-1)}\)
\(\displaystyle{ {log\frac{(2^{x}-1)(2^{z}-1)}{(2^{x}+5)}= 0}\)
\(\displaystyle{ 1=\frac{(2^{x}-1)(2^{z}-1)}{(2^{x}+5)}}\)
\(\displaystyle{ 2^{x}=t}\)
założenie
\(\displaystyle{ t>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{t^{2}-2t+1}{t+5}-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-3t-4=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2^{x}=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=log_{2}(\frac{3}{2})}\)

zakladając ze po drodze nie było błędu z 7 wyrazem powinienes sobie poradzic

[olazola]

\(\displaystyle{ log(2^{x}-1) - log(1) = log(2^{x}+5)-log(2^{x}-1)}\)
\(\displaystyle{ log(2^{x}-1) -log(2^{x}+5)- 10 = -log(2^{x}-1)}\)

Zamiast tej 10 powinno być 0, ale przypuszczam, że to tylko przeoczenie, bo dalej już jest ok. do miejsca, gdzie pojawia się r-nie kwadratowe:
\(\displaystyle{ t^2-3t-4=0}\)
Skąd t=3/2?
Rozwiązaniem r-nia są dwie liczby t=4 oraz t=-1, uwzględniając założenia wybieramy rozwiązanie t=4, no i reszty to już nie warto pisać.

No i jeszcze powinny pojawić się założenia, ale z tym autor zadania powinien sobie poradzić.