układ równań różniczkowych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
micard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

układ równań różniczkowych

Post autor: micard »

Witam, mam taki mały problemik do rozwiązania:

\(\displaystyle{ \frac{du}{dt} =-\alpha u - \beta v}\)
\(\displaystyle{ \frac {dv}{dt}=\gamma v^{2}}\)

ponieważ drugie mogę rozwiązać przez rozdzielenie zmiennych dochodzę do

\(\displaystyle{ \frac{du}{dt}=\alpha u - \frac {1}{\gamma t + C_{0}}}\)

czego już nie mogę ruszyć...

Może ktoś mi z tym pomóc ?

z góry wielkie dzięki
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

układ równań różniczkowych

Post autor: luka52 »

Drobny błąd popełniłeś wstawiając rozw. do pierwszego r.
Niemniej jednak pewne 'problemy' się pojawią. Równanie rozwiązujemy standardowo - wpierwej jednorodne a potem np. uzmiennianie stałej. Kłopot to to, że w końcowym rozwiązaniu pojawią się funkcje nieelementarne, ale to chyba nie jest problem :?:
A tak btw. to co należy wyznaczyć? v(t) i u(t), czy też u(v) lub v(u) :?:
micard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

układ równań różniczkowych

Post autor: micard »

u(t) i v(t)

hmm.. jaki błąd popełniłem?
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

układ równań różniczkowych

Post autor: luka52 »

hmm.. jaki błąd popełniłem?
Brak \(\displaystyle{ \beta}\) i znaki nieco pomieszałeś.
micard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

układ równań różniczkowych

Post autor: micard »

Racja.. przepisywałem za szybko

powinno być

\(\displaystyle{ \frac{du}{dt}=\alpha u - \frac {- \beta}{\gamma t + C_{0}}}\)

uzmienniając stałą dostaję w koncu
\(\displaystyle{ \frac{ dC_{1}}{dt}=- \frac{\beta e^{-\alpha t}}{\gamma t + C_{0}}}\)

i tu stop :/
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

układ równań różniczkowych

Post autor: luka52 »

powinno być
Nie :/ Powinno być:
\(\displaystyle{ u' = - u + \frac{\beta }{\gamma t + C_0}}\)
Rozw. r. jednorodnego:
\(\displaystyle{ u = C_1 e^{- t}}\)
Uzmienniając stałą:
\(\displaystyle{ u' = - e^{- t} C + e^{- t} C'}\)
Podstawiając do r.:
\(\displaystyle{ - e^{- t} C + e^{- t} C' = - C e^{- t} + \frac{\beta }{\gamma t + C_0}\\
e^{- t} C' = \frac{\beta }{\gamma t + C_0}\\
C' = \frac{\beta e^{\alpha t}}{\gamma t + C_0}\\
C = t \frac{\beta e^{\alpha t}}{\gamma t + C_0} \, \mbox{d}t\\
u = e^{- t} t \frac{\beta e^{\alpha t}}{\gamma t + C_0} \, \mbox{d}t}\)
micard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

układ równań różniczkowych

Post autor: micard »

Wielkie dzięki za rozwianie wątpliwości..
muszę trochępopracować nad cierpliwością przy wklejaniu równań

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ