Witam mam problem ponieważ mam do rozwiązania zadanie następujące a nawet nie mam przykładu w zeszycie i nie wiem jak sie do tego zabrać:
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy:
A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
EDIT:
wyznaczyłem wartości własne z A - I*x
W(x)= (1-x)^2(2-x)
z tąd x1=1, x2=2
nie wiem czy dobrze to wyliczyłem ale problemem jest teraz dla mnie wyznaczenie wektorów własnych, chyba że jedynym rozwiązaniem są wektory [0,0,0] ?
wektor i wartość własna
wektor i wartość własna
Zeby wyznaczyć wartości własne musisz policzyć
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = ft|\begin{array}{ccc}1-\lambda&1&0\\0&1-\lambda&0\\0&0&2-\lambda\end{array}\right|}\)
z tego mamy
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = (1-\lambda )(1-\lambda )(2-\lambda )}\)
czyli \(\displaystyle{ \lambda _{1} = 1; \lambda_{2}=1; \lambda_{3}=2}\)
i tak wartości własne wyznaczyliśmy
a teraz wektory własne: oblicza sie je dla każdej wartości lambdy, ale podam ogólny sposób dla ich obliczania tak zeby nie liczyć wszystkiego tutaj, bo ciezko sie to zapisuje...
więc
Podstawiamy pod \(\displaystyle{ \lambda}\) którąś z wartości własnych macierzy, w naszym przypadku weźmy 1 z tego mamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{array}\right]
ft[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x{3}\end{array}\right] =
ft[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Teraz rozpisujemy to jako równanie:
\(\displaystyle{ 0*x_{1}+1*x_{2}+0*x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ 0*x_{1}+0*x_{2}+0*x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ 0*x_{1}+0*x_{2}+1*x_{3}=0}\)
z czego mamy \(\displaystyle{ x_{1}=t}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=0}\)
gdzie t \(\displaystyle{ t R}\)
czyli wektor własny ma postać
\(\displaystyle{ t*\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]}\)
Jeśli sie myle to proszę o poprawienie, ale raczej powinno być okej
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = ft|\begin{array}{ccc}1-\lambda&1&0\\0&1-\lambda&0\\0&0&2-\lambda\end{array}\right|}\)
z tego mamy
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I) = (1-\lambda )(1-\lambda )(2-\lambda )}\)
czyli \(\displaystyle{ \lambda _{1} = 1; \lambda_{2}=1; \lambda_{3}=2}\)
i tak wartości własne wyznaczyliśmy
a teraz wektory własne: oblicza sie je dla każdej wartości lambdy, ale podam ogólny sposób dla ich obliczania tak zeby nie liczyć wszystkiego tutaj, bo ciezko sie to zapisuje...
więc
Podstawiamy pod \(\displaystyle{ \lambda}\) którąś z wartości własnych macierzy, w naszym przypadku weźmy 1 z tego mamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{array}\right]
ft[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x{3}\end{array}\right] =
ft[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Teraz rozpisujemy to jako równanie:
\(\displaystyle{ 0*x_{1}+1*x_{2}+0*x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ 0*x_{1}+0*x_{2}+0*x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ 0*x_{1}+0*x_{2}+1*x_{3}=0}\)
z czego mamy \(\displaystyle{ x_{1}=t}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=0}\)
gdzie t \(\displaystyle{ t R}\)
czyli wektor własny ma postać
\(\displaystyle{ t*\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]}\)
Jeśli sie myle to proszę o poprawienie, ale raczej powinno być okej
Pozdrawiam.