Rozwiazac równanie różniczkowe

[Ana]

\(\displaystyle{ y'=\frac{y+1}{x}}\)

[soku11]

Zakladamy, ze \(\displaystyle{ x\neq 0}\).
Teraz aby rozwiazac trzeba przerzucic zmienne na swoje strony. Aby to zrobic trzeba oddzielnie rozwazyc przypadek dla \(\displaystyle{ y=-1}\). Dalej zakladamy, ze: \(\displaystyle{ y\neq -1}\), i dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ y-1}\). Co daje nam:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}\cdot \frac{1}{y+1}=\frac{1}{x}\\
\frac{dy}{y+1}=\frac{dx}{x}\\
t \frac{dy}{y+1}=\int \frac{dx}{x}\\
ln|y+1|=ln|x|}\)

POZDRO

[luka52]

soku11, a gdzie stała całkowania

[soku11]

Sie zapomnialo sie To moj pierwszy przyklad rozwiazany z rownan rozniczkowych Ta stala dodaje tylko po jednej stronie, tak?? POZDRO

[luka52]

To moj pierwszy przyklad rozwiazany z rownan rozniczkowych

Oby nie ostatni

Ta stala dodaje tylko po jednej stronie, tak??

Teoretycznie powinno się dodawać po dwóch stronach, ale przecież można potem przenieść wszystkie stałe na jedną stronę i zastąpić je inną stałą (dla wygody oznaczeń), więc w praktyce wystarczy jedna stała (przy równaniach I rzędu).

[soku11]

Czyli:
\(\displaystyle{ ln|y+1|=ln|x| +C\\
ln|y+1|=ln|x| +ln|C_1|\ \ C_1=e^{C}\\
ln|y+1|=ln|C_1x|\\
y+1=C_1x\\
y=C_1x-1\\}\)

Tak?? POZDRO

[Ana]

Dzieki chlopaki wielkie za pomosc przy tym zadania, a czy potraficie rozwiazac ta

\(\displaystyle{ x(x^2+1)y'=x(1+x^2)^{2}}\)

jeszcze raz dzieki

[sushi]

po przekształceniu i podzieleniu obustronnie przez to co stoi po lewej stronie x*(1+x*x)

otrzymamy:


\(\displaystyle{ y'= (1+ x^2)}\)

i wiedzac, ze

\(\displaystyle{ y'= \frac{dy}{dx}}\)


\(\displaystyle{ dy= (1+ x^2) dx}\)

całkujemy obustronnie

\(\displaystyle{ y= x + \frac{x^3}{3} + C}\)