Rownania rozniczkowe

[ragazzo]

\(\displaystyle{ y\prime+4y=x e ^{x}}\) Dla y(0)=1, y(1)=0
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+4y=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=4dx , lny=4x+lnC , y=C e ^{4x}}\)
\(\displaystyle{ y(x)=C(x) e ^{4x} , y\prime(x)=C\prime(x)\cdot e^{4x} +C(x) 4 e^{4x}}\)
\(\displaystyle{ C\prime(x) e ^{4x}+C(x) 4 e ^{4x}+4C(x) e ^{4x}=x e ^{x}}\) Tylko co dalej nie wiem .Help.
Pozdrawiam

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ y'=-4y+xe^x}\). Jest to równanie liniowe o prawej stronie określonej i ciągłej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ a(x)=-4,\ b(x)=xe^x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Niech \(\displaystyle{ A, B}\) będą funkcjami pierwotnymi funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto a(x)}\) oraz \(\displaystyle{ x\mapsto b(x)e^{-A(x)}}\) odpowiednio ( z dokładnością do stałej).
Wówczas mamy \(\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx=\int -4dx=-4x}\), \(\displaystyle{ b(x)=\int xe^xe^{4x}dx=\int xe^{5x}dx=\frac{1}{5}xe^{5x}-\frac{1}{25}e^{5x}}\).
Rozwiązanie ogólne równania jest postaci \(\displaystyle{ \varphi_{\gamma}(x)=(B(x)+\gamma)e^{A(x)}}\), czyli

\(\displaystyle{ \varphi_{\gamma}(x)=\gamma e^{-4x}+\frac{1}{5}xe^x-\frac{1}{25}e^x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\),

gdzie \(\displaystyle{ \gamma\in\mathbb{R}}\) jest dowolną stałą.
Jeśli zatem rozwiązanie ma przechodzić przez punkt (0,1), to jest ono postaci:
\(\displaystyle{ \varphi(x)=\frac{1}{25}e^{-4x}+\frac{1}{5}xe^x-\frac{1}{25}e^x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).
Podobnie rozwiązanie przechodzącezez punkt (1,0) jest postaci:
\(\displaystyle{ \varphi(x)=-\frac{4}{25}e^{5-4x}+\frac{1}{5}xe^x-\frac{1}{25}e^x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).

[Qń]

Jeśli w metodzie uzmienniania stałej na końcu \(\displaystyle{ C(x)}\) nie chce się skrócić, to znaczy, że gdzieś został zrobiony błąd po drodze. U Ciebie polega on na zgubieniu minusa:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=-4dx}\)

Q.