Residuum funkcji

[ragazzo]

Wyznaczyc residuum funkcji f(z)
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z-1) ^{2}(z+2) }}\) Mozecie sprawdzic czy dobrze to obliczylem
\(\displaystyle{ z _{1}=1 z_{2}=-1 z_{3}=-2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ z\to1 }f(z)= \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{z \to-1 }f(z)= \frac{-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ z\to-2 }f(z)= \frac{1}{3}}\)
Pozdrawiam

[luka52]

Pierwiastki mianownika to:
\(\displaystyle{ z_1 = 1, \quad z_2 = 1, \quad z_3 = -2}\)
A dalej to nie wiem co liczysz :S

Użyj tego do zapisu:
\(\displaystyle{ \mbox{res}_{z_1} f(z) = \lim_{z \to z_1} \left( (z-z_1)f(z) \right) = \ldots}\)

Kod: Zaznacz cały

[tex]mbox{res}_{z_1} f(z) = lim_{z 	o z_1} left( (z-z_1)f(z) \right) =

[Amon-Ra]

Luka52, twierdzenie jest następujące:

Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) jest analityczna w pierścieniu \(\displaystyle{ 0<|z-z_0|<R}\) i \(\displaystyle{ z_0}\) jest biegunem k-krotnym funkcji, to residuum w tym punkcie nazywamy współczynnik \(\displaystyle{ a_{-1}}\) rozwinięcia w szereg Laurenta. Residuum może być wtedy obliczone wg wzoru:

\(\displaystyle{ \mbox{Res}_{f(z)} z_0 = \lim_{z\to z_0} \frac{1}{(k-1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} \left[ (z-z_0)^k f(z) \right]}\)

Innymi słowy w punkcie 1 jest biegun dwukrotny, zatem:

\(\displaystyle{ \mbox{Res}_{f(z)} z_1 = \lim_{z \to z_1} \frac{1}{(2-1)!} \frac{d}{dz} \left[ (z-z_1)^2 f(z) \right]}\)

[luka52]

Amon-Ra, ok wiem, ale ja tylko poprawiałem pierwiastki wielomianu z mianownika i podałem możliwy sposób zapisu w LaTeX-u jaki można stosować przy obliczaniu residuum. Nie była to bynajmniej próba obliczania jednego z residuów (tak się to odmienia?).

[Amon-Ra]

Amon-Ra, ok wiem, ale ja tylko poprawiałem pierwiastki wielomianu z mianownika i podałem możliwy sposób zapisu w LaTeX-u jaki można stosować przy obliczaniu residuum.

Aha, no dobra, miałem wrażenie nieco odmienne .

residuów (tak się to odmienia?).

No chyba tak.