Roznica miedzy trojkatami - zaleznosci

[maniek099]

Wykaż, że jeżeli różnica między sumą długości dwóch boków trójkąta i długością trzeciego boku jest równa długości średnicy okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest prostokątny.

[snm]

Przeprowadź dowód wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\) i poszukaj w tym dowodzie części, która sprawia, że wzór ten jest prawdziwy tylko dla trójkąta prostokątnego.



A przynajmniej ja bym tak zrobił

[maniek099]

Mozna po polsku....:/

[Wasilewski]

Przecież kolega napisał po polsku, jasno i wyraźnie. W trójkącie prostokątnym promienie okręgu wpisanego poprowadzone do przyprostokątnych są równoległe do przyprostokątnych, zatem od każdej odcinają odcinek o długości r. Gdy do każdego z trzech boków poprowadzimy promienie to zauważymy, że przy kątach ostrych utworzyły się deltoidy. Widzimy więc, że punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki (a-r) i (b-r). Zapisujemy długość przeciwprostokątnej na dwa sposoby i mamy wzór na promień, a korzystaliśmy tutaj z wyjątkowości trójkąta prostokątnego.