Równanie różniczkowe

[Ewa 20]

Zbadać dla jakich a i b rozwiązanie równania różniczkowego
\(\displaystyle{ y''+ay'+by=0}\)
spełnia warunek:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} y(x)=0}\).

[luka52]

Tak na oko to chyba wystarczy by część rzeczywista pierwiastków r. charakterystycznego była ujemna.

[Ewa 20]

A możesz spróbować rozwiązać to równanie i podać warunek na a i b?

[luka52]

No ale chyba te trzy różne postacie rozwiązań w zal. od wyróżnika r. charalterystycznego są znane?
(chodzi o to by \(\displaystyle{ e^{r x}}\) dążyło do 0)
A dalej ze wzorów Viete'a badamy r. charakterystyczne:
\(\displaystyle{ ( - \frac{a}{1} 0 ) \wedge b > 0}\)
(suma pierwiastków mniejsza od zera, a iloczyn większy od zera).

[Ewa 20]

Według moich obliczeń to tylko wtedy gdy delta jest dodatnia może zostać spełniony ten warunek z granicą

[luka52]

Ale gdy delta jest np. ujemna i rozw. jest postaci:
\(\displaystyle{ y = e^{-x} (\cos x + \sin x)}\)
to jednak \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} y = 0}\)
i podobnie gdy \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)

[Ewa 20]

Ale, o ile ja dobrze pamiętam, to dla sinx i cosx przy x dążącym do nieskończoności granica nie istnieje.

[Sage!]

Ale one są ograniczone a \(\displaystyle{ e^{-x}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\), wobec tego ten iloczyn również.