calka oznaczona i nieoznaczona

[mateuszef]

1)\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{(1+tgx)sin ^{2} x}}\)
2)\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}xln(1+ \frac{1}{x})dx}\)

[Veg]

I.
1. Podstawienie: \(\displaystyle{ tgx=t}\) \(\displaystyle{ sin^{2} x = \frac{ t^{2} }{1+ t^{2} }}\) \(\displaystyle{ dx = \frac{dt}{1+ t^{2} }}\)
2.Otrzymujemy \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{ t^{2}(t+1) }}\)
3. Rozbijamy na ułamki proste pierwszego rodzaju.

4. Wynik:
\(\displaystyle{ ln ft|tgx+1 \right| - ln ft|tgx \right| - \frac{1}{tgx} +C}\)

II.
Najpierw całkujesz przez części. Pochodną liczysz z x, całkę z logarytmu.
Całka z logarytmu wynosić będzie
\(\displaystyle{ \int_{}^{}ln(1+ \frac{1}{x})= xln ft|1+ \frac{1}{x} \right| +ln ft|x+1 \right|}\)

W trakcie liczenia po obu stronach pojawi się całka wyjściowa - przerzucasz je na jedną stronę.
Finalnie otrzymasz
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} xln(1+ \frac{1}{x} )dx = \frac{x}{2} + \frac{ x^{2} }{2} ln(1+ \frac{1}{x} )- \frac{1}{2} ln(x+1) ft| _{1}^{2} = \frac{1}{2} +ln \frac{3 \sqrt{3} }{4}}\)

[Dedemonn]

2)\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}xln(1+ \frac{1}{x})dx}\)

Liczymy najpierw całkę nieoznaczoną przez części:

\(\displaystyle{ \int (\frac{1}{2}x^{2})'*ln(\frac{x+1}{x})dx = \frac{x^{2}}{2}ln(\frac{x+1}{x}) - \frac{1}{2}\int x^{2}*\frac{1}{\frac{x+1}{x}}dx}\)

\(\displaystyle{ \int x^{2}*\frac{1}{\frac{x+1}{x}}dx = t \frac{x^{3}}{x+1}dx}\)

Dzielimy licznik przez mianownik:

\(\displaystyle{ (x^{3}) : (x+1) = x^{2}-x+1-\frac{1}{x+1}}\)

Zatem mamy

\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3}}{x+1}dx = t x^{2} dx - t x dx + t dx - t \frac{1}{x+1}dx = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2}+x-ln|x+1|}\)

I podstawiając:

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{2}ln(\frac{x+1}{x}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2}+x-ln|x+1|) + C}\)

Całkę oznaczoną liczymy ze wzoru:

\(\displaystyle{ \int_1^2 f_{(x)} = F_{(2)} - F_{(1)}}\)

gdzie \(\displaystyle{ F_{(x)}}\) to pierwotna, czyli to co wyliczyliśmy - pozostaje podstawić pod x dane wartości.