Szereg i całka

[intel86]

Wyrazić całkę:

\(\displaystyle{ \int\frac{e^{2x}}{x}dx}\)

za pomocą szeregu potęgowego.

[luka52]

\(\displaystyle{ \int \frac{e^{2x}}{x} \, = t \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n x^{n-1}}{n!} \, = \sum_{n=0}^{+ } \frac{(2x)^n}{n n!}}\)

[intel86]

W jaki sposób to przekształciłeś? Jest na to jakiś wzór??

[luka52]

Najpierw rozpisałem, że:
\(\displaystyle{ e^{2x} = \sum \frac{(2x)^n}{n!}}\)
Co jeszcze po podzieleniu przez x daje f. podcałkową.
Następnie zamieniam kolejność całkowania i sumowania, całkuję i voila.

[intel86]

Dalej nie mogę dojść... Dlaczego w liczniki jest: \(\displaystyle{ x^{n-1}}\)?? Mi się wydaje ze powinno być albo samo x albo \(\displaystyle{ x^{n}}\) ale na pewno sie myle.

[Wasilewski]

Po scałkowaniu tak wyszło, przecież:
\(\displaystyle{ \int x^{n-1} dx = \frac{x^n}{n} + C}\)

[intel86]

To już właśnie zauważyłem ale dzięki chodzi mi tylko o pierwszą część zadania. Nie wiem skąd to \(\displaystyle{ x^{n-1}}\) :/

[luka52]

Nie wiem skąd to

Rozwijając e^2x jest \(\displaystyle{ x^n}\) a to należy jeszcze przez x podzielić -> patrz. mianownik. stąd \(\displaystyle{ x^{n-1}}\).

[intel86]

No tak Teraz już czaję. Dzięki za cierpliwość