\(\displaystyle{ x*\arctan{x} > \frac{\pi}{2} *x-1}\)
wiem że jak wylicze drugą pochodną to jest większa od zera i ztego wiem że pierwsza pochodna jest rosnąca ale nie wiem co dalej :/
udowodnić nierówność
-
kuba.bobas
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 18 lis 2006, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczucin
- Podziękował: 2 razy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9724
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2633 razy
udowodnić nierówność
Rozumiem, że funkcja, którą rozważasz, to:
\(\displaystyle{ f(x) = x \arctan x - \frac{\pi x}{2} +1}\)
Istotnie jest \(\displaystyle{ f'' >0}\), czyli \(\displaystyle{ f'}\) jest rosnąca. Ale jak łatwo policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f' (x) = 0}\)
a stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f' }\), czyli \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca. Teraz jednak mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f (x) = 0}\) (wystarczy użyć d'Hospitala)
a to z kolei oznacza, że \(\displaystyle{ f > 0}\).
Pozdrawiam.
Qń.
\(\displaystyle{ f(x) = x \arctan x - \frac{\pi x}{2} +1}\)
Istotnie jest \(\displaystyle{ f'' >0}\), czyli \(\displaystyle{ f'}\) jest rosnąca. Ale jak łatwo policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f' (x) = 0}\)
a stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f' }\), czyli \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca. Teraz jednak mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } f (x) = 0}\) (wystarczy użyć d'Hospitala)
a to z kolei oznacza, że \(\displaystyle{ f > 0}\).
Pozdrawiam.
Qń.