Suma szeregu

[Koojon]

Prosiłbym o rozwiązanie takiego zadanka:

Obliczyć w nieskończoności sumę szeregu danego wzorem \(\displaystyle{ \frac{n}{ 2^{n} }}\)


Z góry dzięki

[wb]

\(\displaystyle{ S_n= \frac{1}{2^1}+ \frac{2}{2^2}+ \frac{3}{2^3}+...+ \frac{n}{2^n} \ \ \ / \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} S_n= \frac{1}{2^2}+ \frac{2}{2^3}+ \frac{3}{2^4}+...+ \frac{n}{2^{n+1}} \\ S_n- \frac{1}{2}S_n= \frac{1}{2^1}+( \frac{2}{2^2}- \frac{1}{2^2})+(\frac{3}{2^3}- \frac{2}{2^3})+(\frac{4}{2^4}- \frac{3}{2^4})+...+(\frac{n}{2^n}- \frac{n-1}{2^n})- \frac{n}{2^{n+1}} \\ \frac{1}{2}S_n= \frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}} \\ \frac{1}{2}S_n= \frac{1}{2} \frac{1- \frac{1}{2^n} }{1- \frac{1}{2} }- \frac{n}{2^{n+1}} \ \ \ / 2 \\ S_n=2- \frac{1}{2^{n-1}}- \frac{n}{2^n} \\ \\ \lim_{n \to }S_n=2-0-0=2}\)