Oblicz granicę

[elzabbul]

Oblicz granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0^{+}} (\frac{sinx}{x})^{\frac{1}{x^{2}}}\)

[scyth]

\(\displaystyle{ \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}} = e^{\ln ft( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}} =
e^{\frac{\ln \frac{\sin x}{x} }{x^2}} \\
\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln \frac{\sin x}{x} }{x^2} = H =
\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x}{\sin x}\cdot ft( \frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2} \right) }{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0^+} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2 \sin x} = H = \\ =
\frac{1}{2} \lim_{x \to 0^+} \frac{ - x \sin x}{x^2 \cos x + 2x \sin x} =
- \frac{1}{2} \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x}{x \cos x + 2 \sin x} = H = \\=
- \frac{1}{2} \lim_{x \to 0^+} \frac{ \cos x}{3 \cos x - x \sin x} = - \frac{1}{2} \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} \\
\ \lim_{x \to 0^+} ft( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}} = e^{-\frac{1}{6}}}\)

ps. późno już, mogłem się gdzieś machnąć, ale powinno być ok. W każdym razie idea jest taka, a wykonanie to może ktoś jeszcze sprawdzić