oblicz granice podanych ciągów

[Fundak]

Poległem na tych zdaniach i nie wiem jak je zrobić. Należy policzyć granice.
\(\displaystyle{ u _{n} = \frac{nsinn!}{n ^{2} +1}}\)
\(\displaystyle{ u _{n} = \sqrt[n]{2n ^{3} -3n ^{2} +15}}\)
\(\displaystyle{ u _{n} = \frac{1}{2n} cosn ^{3} - \frac{3n}{6n+1}}\)
\(\displaystyle{ u _{n} = 2 ^{-n} acosn \pi}\)
\(\displaystyle{ u _{n} = (sinn!) \frac{n}{n ^{2} +1} + \frac{2n}{3n+1} * \frac{n}{1-3n}}\)
\(\displaystyle{ u _{n} = \frac{8 ^{log _{2} n} }{2 ^{n} }}\)
\(\displaystyle{ u _{n} = \frac{n!}{n ^{n} }}\)
\(\displaystyle{ u _{n} = \frac{2 ^{n} *3 ^{2n} }{n!}}\)
\(\displaystyle{ u _{n} = (1- \frac{1}{ 2^{2} } )(1- \frac{1}{ 3^{2} } )(1- \frac{1}{ 4^{2} } )...(1- \frac{1}{ n^{2} } )}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ 0 \frac{n}{n^2+1}\leq \frac{nsinn!}{n^2+1}\leq \frac{-n}{n^2+1}\rightarrow 0}\)

[Rogal]

A jaki jest problem z tymi zadaniami? Przecież to są podstawowe z Krysickiego?
Napisz, co Ci sprawia problem, może na wykłady nie chodziłeś, albo ćwiczenia, to napisz, to Ci się poda kilka sposobów robienia granic ciągów, ale nie licz, że ktoś Ci zrobi wszystkie zadania, w których jest więcej pisania niż myślenia.

[Fundak]

Dokładnie są to zadania z krysickiego. Resztę zadań z działu zrobiłem, ale do tych nie mogę się dobrać. A co w nich nie wiem? Po kolei- w drugim nie wie jak przekształcić to do formy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) tak jak to było w przykładzie. Trzeci czwarty i piąty i nei wiedziałem jak zabrać się za tą trygonometrię. W szóstym doszedłem jedynie do \(\displaystyle{ 2^{ \frac{log _{2} n ^{3} }{n} }}\) a z potęgi wychodziło mi \(\displaystyle{ \frac{ }{ }}\). W kolejnych z silniami też nie wiedziałem z której strony ruszyć, a w ostatnim wyszło mi 0 a powinno \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). No i takie miałem problemy.

[Rogal]

Drugiego nigdzie nie trzeba przekształcać - ta granica wynosi jeden, a robi się tak jak ta z pierwiastek n-tego stopnia, czyli z trzech ciągów.
W trzecim, czwartym i piątym nie trza się wcale "zabierać" za trygonometrię, bo i tak nic mądrego by się nie wymyśliło, a po prostu zastosować twierdzenie, że trzech ciągów (bo tak sinus i cosinus dają wartości tylko od -1 do 1).
W szóstym to coś strasznie zaszalałeś, bo tam powinno wychodzić \(\displaystyle{ \frac{2^{3 \log_{2} n}}{2^{n}} = \frac{(2^{\log_{2} n})^{3}}{2^{n}} = \frac{n^{3}}{2^{n}}}\), a to już w granicy jest zerem.
W dwóch następnych najlepiej jest korzystać z kryterium d'Alemberta dla ciągów, a w ostatnim jak dobrze widzę, to należy zastosować w każdym nawiasie wzór na różnicę kwadratów.

[Fundak]

Dzięki. Zaświtało mi jeszcze coś takiego czy istnieje taka zasada że iloraz ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do jakiejś tam granicy będzie zbieżnym do tej granicy? Niby z wykresów wychodzi, a jakieś echo takiej zasady pobrzmiewa mi po głowie aczkolwiek na 100 % pewien nie jestem.

[Rogal]

To najlepiej wszystko robić z trzech ciągów, natomiast dość oczywiste jest, że iloczyn ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego jest zbieżny do 0.