Granica funkcji. tgx^tg2x x=pi/4

[19ulka88]

w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ (tgx)^{tg2x}}\)


Najpierw mi wychodzi \(\displaystyle{ 1^{ }}\)

i stosuje wzór \(\displaystyle{ e^{tg2xlntgx}}\) czyli\(\displaystyle{ e^{g}}\)

\(\displaystyle{ g=tg2xlntgx}\) \(\displaystyle{ = *0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\ \frac{pi}{4} } \frac{lntgx}{ctg2x} = \lim_{ x\ \frac{pi}{4} } \frac{ \frac{1}{tgx}- \frac{1}{cos^2{x}} }{ \frac{-2}{sin^2{2x}} }}\)

i co dalej....

[Raistlin Mejere]

Jak zapisalem wszystko na jednej kresce ulamkowej to wyszlo mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Nie wiem czy to dobrze czy zmeczenie zacmilo mi umysl.

[matematyk2]

w liczniku ostatniego wyrazenia zamiast odejmowania powinno byc mnozenie. Wtedy wszystko ładnie wychodzi.

[Szemek]

błąd przy liczeniu pochodnej, zamiast odejmowania powinno być mnożenie
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\ln \tan x}{\cot 2x} = H = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{ \frac{1}{\tan x} \frac{1}{cos^2{x}} }{ \frac{-2}{sin^2{2x}} } = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{sin^2{2x}}{-2\tan x \cos^2{x}} = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{4\sin^2 x \cos^2 x}{-2\tan x \cos^2{x}} =}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } -2 \sin x \cos x = -2 \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2}} = -2 \frac{1}{2} =-1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (tgx)^{tg2x} = e^{-1} = \frac{1}{e}}\)

[19ulka88]

a czy zamiast \(\displaystyle{ \frac{-2 sin^{3}{x} }{cosx}}\) nie powinno być \(\displaystyle{ -2 sinxcosx}\)

[Szemek]

powinno, już poprawiam