W zbiorze A={0,1,2,...,20} określamy relację \(\displaystyle{ \large \rho}\) w taki sposób, że jeśli \(\displaystyle{ x\in A\text{ oraz } y\in A}\), to
\(\displaystyle{ x\rho y\longleftrightarrow\ 11| x^{2} + y^{2}}\)
a) zbadać czy \(\displaystyle{ \large\rho}\) jest relacją równoważności.
b) jeśli odpowiedź w punkcie a jest pozytywna, to wyznaczyć zbiór wszystkich klas abstrakcji tej relacji.
Dowód równoważności.
-
wiola_pachla
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 2 gru 2004, o 21:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tomaszów Lub.
-
W_Zygmunt
- Użytkownik
- Posty: 544
- Rejestracja: 1 wrz 2004, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 53 razy
Dowód równoważności.
Ponieważ tylko para (11,11) należy do relacji, zatem jast ona zwrotna, Symetria i przechodniość jest spełniona w sposób trywialny, czyli jest równoważnościowa . Jedyną klasą jest ona sama.
-
wiola_pachla
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 2 gru 2004, o 21:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tomaszów Lub.
Dowód równoważności.
Przykro mi bardzo ale nastąpiła pomyłka, co zmienia postac zadania.Moze to wyda sie dziwne ale juz wiem jak to zrobić i pokaże rozwiązanie tym którzy są tego ciekawi.
Mamy relację: \(\displaystyle{ x\rho y \longleftrightarro\ 11|x^{2}-y^{2}}\)
Sprawdzając czy jest to relacja równoważności otrzymujemy następujące warunki (nie zapominajmy o ograniczoności zbioru A):
1) zwrotność:
\(\displaystyle{ \forall x\in A\ \langle x,x\rangle \rho\longleftrightarrow\ 11|x^{2}-x^{2}\\ zatem\ 11|0}\)
2) symetryczność:
\(\displaystyle{ \forall x,y\in A\ \langle x,y\rangle \rho\longrightarrow\langle y,x\rangle \rho}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=11a\ \longrightarrow\ y^{2}-x^{2}=11a\\ x^{2}-y^{2}=11a\longrightarrow\ -(x^{2}-y^{2})=11\\x^{2}-y^{2}=11a\longrightarrow\ x^{2}-y^{2}=11(-a)\\ a Z}\)
I jest to prawdą.
3) przechodniość
\(\displaystyle{ \forall x,y,z\in A \ \langle x,y\rangle \rho\ \langle y,z\rangle \rho\longrightarrow\langle x,z\rangle \rho}\)
Awięc:
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=11a\ \ y^{2}-z^{2}=11b\\ \downarrow \\ x^{2}-y^{2}+y^{2}-z^{2}=11a+11b\\ \downarrow \\ x^{2}-z^{2}=11(a+b)\\ a+b=c\rightarrow \ x^{2}-z^{2}=11c\ \ \ a,b,c\in Z}\)
Mamy udowodnione,że powyższa relacja jest relacją równoważności.
Ponieważ w podpunkcie a odpowiedź jest pozytywna, zatem należy teraz wyznaczyć klasy abstrakcji.Sprowadźmy naszą relację do nastepującej postaci:
\(\displaystyle{ 11|x^{2}-y^{2}\ ftrightarrow 11|(x-y)(x+y)}\)
\(\displaystyle{ ||0||_{\rho}={0,1,11}\\ ||1||_{\rho}={0,1,2,10,12}\\ ||2||_{\rho}={1,2,9,13,20}\\ ||3||_{\rho}={3,8,14,19}\\ ||4||_{\rho}={4,7,15,18}\\ ||5||_{\rho}={5,6,16,17}}\)
Mam nadzieje, że to jest dobrze ale jeśli nie to proszę o poprawke.
Pozdrawiam
Mamy relację: \(\displaystyle{ x\rho y \longleftrightarro\ 11|x^{2}-y^{2}}\)
Sprawdzając czy jest to relacja równoważności otrzymujemy następujące warunki (nie zapominajmy o ograniczoności zbioru A):
1) zwrotność:
\(\displaystyle{ \forall x\in A\ \langle x,x\rangle \rho\longleftrightarrow\ 11|x^{2}-x^{2}\\ zatem\ 11|0}\)
2) symetryczność:
\(\displaystyle{ \forall x,y\in A\ \langle x,y\rangle \rho\longrightarrow\langle y,x\rangle \rho}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=11a\ \longrightarrow\ y^{2}-x^{2}=11a\\ x^{2}-y^{2}=11a\longrightarrow\ -(x^{2}-y^{2})=11\\x^{2}-y^{2}=11a\longrightarrow\ x^{2}-y^{2}=11(-a)\\ a Z}\)
I jest to prawdą.
3) przechodniość
\(\displaystyle{ \forall x,y,z\in A \ \langle x,y\rangle \rho\ \langle y,z\rangle \rho\longrightarrow\langle x,z\rangle \rho}\)
Awięc:
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=11a\ \ y^{2}-z^{2}=11b\\ \downarrow \\ x^{2}-y^{2}+y^{2}-z^{2}=11a+11b\\ \downarrow \\ x^{2}-z^{2}=11(a+b)\\ a+b=c\rightarrow \ x^{2}-z^{2}=11c\ \ \ a,b,c\in Z}\)
Mamy udowodnione,że powyższa relacja jest relacją równoważności.
Ponieważ w podpunkcie a odpowiedź jest pozytywna, zatem należy teraz wyznaczyć klasy abstrakcji.Sprowadźmy naszą relację do nastepującej postaci:
\(\displaystyle{ 11|x^{2}-y^{2}\ ftrightarrow 11|(x-y)(x+y)}\)
\(\displaystyle{ ||0||_{\rho}={0,1,11}\\ ||1||_{\rho}={0,1,2,10,12}\\ ||2||_{\rho}={1,2,9,13,20}\\ ||3||_{\rho}={3,8,14,19}\\ ||4||_{\rho}={4,7,15,18}\\ ||5||_{\rho}={5,6,16,17}}\)
Mam nadzieje, że to jest dobrze ale jeśli nie to proszę o poprawke.
Pozdrawiam