Obliczyć długości boków trójkąta

[Tomasz B]

Wysokości pewnego trójkąta mają długości \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}, \; \frac{8}{7} \sqrt{6}, \;\frac{9}{5}\sqrt{6}}\). Obwód tego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 16}\). Oblicz długości wszystkich jego boków.

Wskazówki, wzory? itp...

[g]

to nie jest zbyt sprytny sposob - bedzie liczenia a liczenia, autorom zadania chodzilo pewnie o cos innego niz ja mam. z Herona pole i dalej \(\displaystyle{ a = {2S \over h_a}}\) i tak dalej.

[Oźmin]

z Herona wyjdzie jeszcze większy pasztet. Ja bym to zrobił z układu równań, pierwsze równanie masz: a + b + c = 16 a dwa następne możesz sobie wykorzystać np przekształcając zależności na pole trójkąta, oznaczmy x, y i z wysokości trójkąta. czyli masz: \(\displaystyle{ \frac{a x}{2} = \frac{b y}{2} = \frac{c z}{2}}\)
z tego a = 0,9c oraz a = 4/7b.

[Rogal]

Można też zauważyć, że stosunek długości boków jest równy stosunkowi długości odwrotności wysokości:
\(\displaystyle{ a: b :c=\frac{1}{h_{1}}:\frac{1}{h_{2}}:\frac{1}{h_{3}}}\)
i z tego pokombinować.

[SoD]

A można też z tego że jak by nie liczyć pola to zawsze bedzie takie samo więc przyjąc sobie boki a,b,c podstawić do wzoru na pole wraz z podanymi wysokościami, wszystkie te pola są sobie równe oraz dodatkowe równanie: a+b+c=16.

[Tomasz B]

Hmm wyniki to : \(\displaystyle{ 4\frac{20}{139}, \; 7\frac{35}{139}, \; 4\frac{84}{139}}\)

coś mi to nie wychodzi... pomocy...

[Yavien]

tez mi tak wychodzi.

[ Dodano: Pon 07 Lut, 2005 00:11 ]
Tomku, odnośnie pytania na PW:
Z tego, co pisał Oźmin:
\(\displaystyle{ a+b+c = 16}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{6}a = \frac{8}{7}\sqrt{6}b=\frac{9}{5}\sqrt{6}c}\)
\(\displaystyle{ 2a = \frac{8}{7}b=\frac{9}{5}c}\)
stąd \(\displaystyle{ b = \frac{7}{4}a}\)
\(\displaystyle{ c = \frac{10}{9}a}\)
wstawiamy do pierwszego:
\(\displaystyle{ a+\frac{7}{4}a+\frac{10}{9}a = 16}\)
\(\displaystyle{ \frac{36}{36}a+ \frac{63}{36}a+\frac{40}{36}a = 16}\)
I dalej wychodzą te wyniki, co juz je pisałeś