Rozwiązanie równania różniczkowego niejednorodnego

[Sowa]

mam dwa przykłady:
\(\displaystyle{ t^2 y'' + ty' - 4y = 1}\)
\(\displaystyle{ t^2 y'' - ty' + y = 1}\)
oraz odpowiednie układy fundamentalne dla równań:
\(\displaystyle{ t^2 y'' + ty' - 4y = 0}\)
\(\displaystyle{ t^2 y'' - ty' + y = 0}\)

podaję postać ogólną rozwiązania z C1(t) i C2(t) oraz warunek który spełniają pochodne C2'(t) i C1'(t) czyli równanie macierzy. Do macierzy po prawej stronie wstawiamy 0 na górę a na dół funkcję h(t) z danego równania różniczkowego. I tu pytanie - czy dla moich przykładów wstawiam 1 czy 1/t^2 (po podzieleniu równania przez potęge t przy y''. A jak będzie z funkcją
\(\displaystyle{ (3t+2t^2)y'' - 6(1+t)y' + 6y = 6}\)? z góry dziękuje za pomoc i wytłumaczenie

[luka52]

Nie bardzo rozumiem o co Ci dokładnie chodzi, dlatego przedstawię przykładowe rozwiązanie pierwszego przykładu.

Zajmijmy się wpierw przykładem pierwszym:
\(\displaystyle{ t^2 y'' + ty' - 4y = 1}\)
Jest to r. r. Eulera.
Rozwiązujemy wpierwej r. jenorodne. Rozwiązanie tegoż przewidujemy w postaci:
\(\displaystyle{ y = t^r}\), skąd \(\displaystyle{ y' = rt^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)t^{r-2}}\)
Po zał. \(\displaystyle{ x^r 0}\) i wstawieniu do r. jednorodnego i uproszczeniu otrzymujemy r. charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r(r-1) + r - 4 = 0 \iff r = 2}\)
Zatem rozw. r. jednorodnego jest
\(\displaystyle{ y_1 = C_1 t^2 + C_2 t^{-2}}\)
Następnie jako całkę szczególną równania niejednorodnego przewidujemy jakąś stałą, tj. \(\displaystyle{ y_2 = a}\). Łatwo znajdujemy, że \(\displaystyle{ y_2 =- \frac{1}{4}}\).
Ostatecznie rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ y = C_1 t^2 + C_2 t^{-2} - \frac{1}{4}}\)

Pewna uwaga końcowa:
Ponieważ w swoim opisie wspominasz coś o macierzach i C1(t), etc. więc mniemam, że chciałeś "zwyczajnie" rozwiązać te równania - tj. wpierw r. jednorodne, a następnie uzmiennianie stałych.
Jednak zauważ, że tutaj przy y i jej pochodnych jest zmienna t, która nieco komplikuje sprawę.

[Sowa]

Ok, dzięki. Albo czegoś nie zrozumiałem na wykładzie, albo nie uczli nas takiego podejścia. Wydaje mi się, że oczekują właśnie "zwyczajnego" rozwiązania jakbyś mógł mi jeszcze napisać jak poradzić sobie ze zmienną t chcąc pójść na około to byłbym wielce wdzięczny

[luka52]

Hmm... ale to tzw. "zwyczajne" podjeście to stosuje się do równań postaci: \(\displaystyle{ ay'' + by' + cy = f(x)}\), gdzie a, b, c to stałe.
A tu mamy do czynienia z innym typem i przy rozwiązywaniu r. jednorodnego musimy przewidywać rozw. innej postaci. Oczywiście można przy szukaniu całki szczególnej posłużyć się metodą uzmienniania stałych, ale z reguły zwykłe przewidywanie wystarcza.

[Sowa]

Trochę się zamotałem, już rozumiem i racja stoi po twojej stronie dzięki za naprowadzenie!

[ Dodano: 24 Stycznia 2008, 09:07 ]
A jak byłoby z rozwiązaniem równania

\(\displaystyle{ t^2y'' - ty' + y = 6t lnt}\)?