funkcja złożona, jak ją rozpoznać?

[nivels]

Witam,

Szukałem w książkach i necie ale nie mogłem znaleźć niczego sensownego (czyt. co by mój ograniczony łeb zrozumiał). Mógłby mi ktoś wytłumaczyć łopatologicznie jak rozpoznać funkcję złożoną? Dobrze by było gdyby ktoś mógłby wyłożyć mi to raczej opisowo niż poprzez napisanie samej definicji.

[natkoza]

hmm... łopatologicznie powiadasz, nie będzie łatwo, ale się postaram...
bez uzycia definicji będzie trudno, więc moze wytłumacze na przykładzie
\(\displaystyle{ f(x)=4x^2+4x+1}\)
"zwijając" tą funkcję otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(x)=(2x+1)^2}\)
można zauważyć w takim razie, ze ta funkcja jest funkcją złożona z funkcji zewnętrznej: \(\displaystyle{ g(x)=x^2}\)i wewnętrznej: \(\displaystyle{ h(x)=2x+1}\)
czyli \(\displaystyle{ f(x)=g(h(x))=g\circ h}\)
przy skąłdaniu funkcji bardzo ważna jest kolejność, gdyż skłądnaie unkcji nie jest operacją przemienną, czyli na naszym przykłądzie \(\displaystyle{ (g\circ f)(x)=4x^2+4x+1}\) ale już \(\displaystyle{ (f\circ g)(x)=2x^2+1}\)

[msx100]

hym.. funckja zlozona... jak to prosto wytlumaczyc..
jezeli mamy jakas prosta funkcje, np.: \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) to ta funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest zlozona z 2ch innch funkcji. Pierwsza z nich jest funkcja zewnetrzna\(\displaystyle{ v(x)=x^{2}}\) a 2ga jest to\(\displaystyle{ w(x)=x}\).
Sprawdzamy czy zlozenie tych funkcji \(\displaystyle{ v(x) i w(x)}\) da nam w konsekwencji funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ (v \circ w)(x) = v(x) \circ w(x) = x^{2} \circ x = x^{2}}\)
no i otrzymujemy nasza funkcje wyjsciowa \(\displaystyle{ f(x)}\)
Moze napisz jakas konkretna funkcje to wyjasnie..

[ Dodano: 23 Stycznia 2008, 18:44 ]
ten znaczek \(\displaystyle{ \circ}\) oznacza skladnnie funkcji.
A o co chodzi w tym tak naprawde.
Argumentem funkcji zewnetrznej ma byc funkcja i ona nazywa sie funkcja wewnetrzna.
nie wiem jak to inaczej powiedziec..
Jezeli mamy \(\displaystyle{ f(x) = (x-1)^{2}}\) to funkcja zewnetrzna jest \(\displaystyle{ v(x)=x^2}\) a funkcja zewnetrzna jest \(\displaystyle{ w(x)=x-1}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ w(x)}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\) w funkcji \(\displaystyle{ v(x)}\)

[nivels]

Dzięki za pomoc

Czyli w sytuacji \(\displaystyle{ f(x)=x^{sinx}* \frac{1}{2+x}}\) mamy dwie funkcje złożone?

Obliczając pochodną będziemy mieli \(\displaystyle{ e ^{sinx*lnx}*cosx* \frac{1}{x}*}\) jak będzie dalej?

[borus87]

No nie zupełnie.
Rozumiem, że chodzi o funkcje \(\displaystyle{ \frac {x^{sinx}}{2+x}}\)
Więc całość po prostu sprowadza się tu do wzoru:
\(\displaystyle{ (\frac {f(x)}{f(z)})' = \frac {(f(x))'f(z) - f(x)(f(z))'}{(f(z))^2}}\)
A więc mnożymy pochodną liczebnika i mianownik oraz pochodną mianownika i liczebnik i odejmujemy je od siebie. Natomiast sam mianownik pozostaje jedynie podniesiony do kwadratu.
Teraz cała trudność sprowadza się jedynie do policzenia pochodnej z \(\displaystyle{ x^{sinx}}\)
A więc:
\(\displaystyle{ x^{sinx}= e^{sinx \ lnx} (cosx lnx + \frac {1}{x} sinx) = x^{sinx} (cosx lnx + \frac {1}{x} sinx)}\)
No i teraz już powinno ci pójść z górki

[nivels]

Dzięki, im trudniejsze robie zadania tym głupsze popełniam błędy