pochodne

[poolak2006]

Jak liczy sie pochodne ?? np cos takiego \(\displaystyle{ \frac{2 x^2 (4 x^4 + 2 x^2) }{x^3 + x^2}}\)

chodzi mi o dokladne objasnienie tak zebym zrozumial a nie o sam wynki;)
z gory THX

[firef2]

\(\displaystyle{ { \frac{8x^{6}+4x^{4}} {x^{3}+x^{2}}= \frac{ ft(8x^{4}+4x^{2} \right)' ft(x+1 \right)+ ft(8x^{4}+4x^{2} \right) ft( x+1\right)' }{ ft( x+1\right)^{2} }= \frac{12x^{4}+6x^{2}+12x^{3}+6x+8x^{4}+4x^{2}}{ ft( x+1\right)^{2} }}\)


Na poczatku x^2 skrocilem (przed nawias) nastepnie masz przedstawiony a tym przykladzie wzor z pochodnej ilorazu zastosowany do tego. No i wynik z pochodniowania i mnozenia (mozna jeszcze cos porobic)

P.S.
Sume pochodniujesz w taki sposob ze masz \(\displaystyle{ 8x^{4}'+4x^{2}'=12x^{3}+6x}\)

[borus87]

P.S.
Sume pochodniujesz w taki sposob ze masz \(\displaystyle{ 8x^{4}'+4x^{2}'=12x^{3}+6x}\)

No więc zacznę od tego, że to akurat jest kompletna bzdura.
\(\displaystyle{ (8x^{4})'+(4x^{2})'=32x^3+8x}\)
A więc:
\(\displaystyle{ \frac {2x^2(4x^4+2x^2)}{x^3+x^2}= \frac {2x^2(4x^4+2x^2)}{x^2(x+1)}= \frac {8x^4+4x^2}{x+1}= \frac {(8x^4+4x^2)'(x+1)-(x+1)'(8x^4+4x^2)}{(x+1)^2}}\)
W tym momencie chciałbym zwrócić również uwagę na błąd w wykorzystaniu wzoru gdzie \(\displaystyle{ (\frac {f(x)}{f(z)})' = \frac {(f(x))'f(z) - f(x)(f(z))'}{(f(z))^2}}\)
A więc przy ilorazie pochodną liczebnika i mianownika oraz mianownika i pochodnej licznika ODEJMUJEMY a nie dodajemy jak w przypadku liczenia pochodnej z iloczynu. A więc idąc dalej:
\(\displaystyle{ = \frac {(32x^3+8x)(x+1)-(1)(8x^4+4x^2)}{(x+1)^2}= \frac {24x^4+32x^3+4x^2+8}{(x+1)^2}}\)
Można jeszcze oczywiście w liczniku wyciągnąć 4 przed nawiac.

PS. "pochodniowanie" nazywamy różniczkowaniem