0,(9) = 1 ??

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 21:42

2*0.(9) = 1.9999999999999............8=1.(9)8
3*0.(9) = 2.9999999999999............7=2.(9)7
...
9*0.(9) = 8.9999999999999............1=8.(9)1
10*0.(9) = 9.9999999999999............0
100*0.(9) = 99.999999999999...........00
...
10000000000*0.(9) = 9999999999.9999...........000000000000
1(0)*0.(9) = (9)
ale 1(0)*1 = 1(0)

jeżeli twierdzimy że 0.(9) = 1
to musimy stwierdzić że (9) = 1(0) [999999999... = 10000000000...]

Yavien · Post autor: **Yavien** » 3 lut 2005, o 21:44

nie, to nie tak:

2*0.(9) = 1.9999999999999............8=1.(9)8

\(\displaystyle{ \large\begin{eqnarray}2\cdot0.(9) &=& 2\cdot(\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+\frac{9}{100000}+\frac{9}{1000000}+...) = \\ &=&2\cdot\frac{9}{10}+2\cdot\frac{9}{100}+2\cdot\frac{9}{1000}+2\cdot\frac{9}{10000}+2\cdot\frac{9}{100000}+2\cdot\frac{9}{1000000}+... \\ &=& \frac{18}{10}+\frac{18}{100}+\frac{18}{1000}+\frac{18}{10000}+\frac{18}{100000}+\frac{18}{1000000}+... = \\ &=&(\frac{10}{10} +\frac{8}{10})+(\frac{10}{100}+\frac{8}{100})+(\frac{10}{1000}+\frac{8}{1000})+(\frac{10}{10000}+\frac{8}{10000})+(\frac{10}{100000}+\frac{8}{100000})+(\frac{10}{1000000}+\frac{8}{1000000})+... = \\ &=&1 + (\frac{8}{10} +\frac{1}{10})+(\frac{8}{100}+\frac{1}{100})+(\frac{8}{1000}+\frac{1}{1000})+(\frac{8}{10000}+\frac{1}{10000})+(\frac{8}{100000}+\frac{1}{100000})+(\frac{8}{1000000}+\frac{1}{1000000})+... \\ &=& 1 +\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+\frac{9}{100000}+\frac{9}{1000000}+... = \\ &=& 1.(9)\end{eqnarray}}\)

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 21:55

eh... mozna też tak
!= różne
1!=9/10!=99/100!=999/1000!=99999/1000....
brak równości...
zatem lim[0.(9)]=1
nie widać zato aby suma ciągu
0.9 + 0.09 + ... = 1

g · Post autor: g » 3 lut 2005, o 21:59

2505 pisze:granice! a nie że jest to równe 1

przeciez to jest sprzeczne samo w sobie. granica ciagu jest konkretna liczba a nie wartoscia ktora gdzies dazy. poza tym co to za zapis 0,(9)8 ? sugerujesz ze istnieje ostatnia cyfra nieskonczonego rozwiniecia jakiejs liczby? co za farmazon...

Yavien · Post autor: **Yavien** » 3 lut 2005, o 22:00

2!=3!=4!=2 to dowodzi tego, ze 2!=2 ?

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 22:02

"granica ciagu jest konkretna liczba a nie wartoscia ktora gdzies dazy"

źle przeczytałeś, napisałem że dane wyrażenie posiada granicę w punkcie, czyli "dąży" do tego miejsca....
dązy w przypadku 0.(9) oznacza dopisywanie kolenych 9 do ułamka 0.9

"2!=3!=4!=2 to dowodzi tego, ze 2!=2 ?"

heh no to miło...

w "moim" jest pewna reguła... a tutaj jej nie widzę

no ale można tez tak
1=0.9+0.1=0.09+0.01=0(9)+(0.1)^n

mimo to nadal jest niejednoznaczne bo 0.(9) nie musi mieć n miejsc po przecinku... więc KLOPS

Yavien · Post autor: **Yavien** » 3 lut 2005, o 22:12

dane wyrażenie posiada granicę w punkcie, czyli "dąży" do tego miejsca....
dązy w przypadku 0.(9) oznacza dopisywanie kolenych 9 do ułamka 0.9

Ale zapis 0,9 oznacza granice, nie "dążenie", tylko dokładnie granicę:

zapis "0,(9)" oznacza granice ciagu 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; , ... czyli jeden.

\(\displaystyle{ 0,(9) = \lim_{n\to\infty}{\text{ takiego ciagu: }\{a_1 = 0,9;a_2=0,99;a_3=0,999;...\} }= \lim_{n\to\infty}{a_n\{\text{,gdzie } a_n=a_{n-1}+\frac{9}{10^n}\} } = 1}\)

1=0.9+0.1=0.09+0.01=0(9)+(0.1)^n

mimo to nadal jest niejednoznaczne bo 0.(9) nie musi mieć n miejsc po przecinku... więc KLOPS

0,(9) ma więcej miejsc po przecinku niż dowolne n, które sobie pomyślisz

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 22:19

n = +INF (ja o niczym poza INF nie myslałem)
więc nie możesz powiedzieć że 0.(9) ma wiecej miejsc po przecinku niż nieskończoność...

przy n-> +INF :

lim[1-(0.1)^n] = 1-
lim[1+(0.1)^n] = 1+
lim[(0.1)^n] = 0
no ale chyba (0.1)^n to nie to samo co 0... chociaż jak 0.(9) = 1...

Yavien · Post autor: **Yavien** » 3 lut 2005, o 22:32

a zapis 0.(9) oznacza mnie mniej niz nieskonczenie wiele dziewiatek po przecinku. 0.(9) musi miec nieskonczenie wiele 9.

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 22:36

no wiem , ale nie jesteśmy w stanie powiedzieć, która "nieskończoność" jest większa, a nawet nie możemy powiedzieć że są równe

Yavien · Post autor: **Yavien** » 3 lut 2005, o 22:42

O jakich dwoch nieskonczonosciach mowisz? w 0.(9) i granicy liczb: {0.9; 0.99; 0.999.; ... } oraz w granicy 0.99999999999... sa te same nieskonczonosci, poniewaz te zapisy oznaczaja to samo.

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 22:45

mówiłem o (0.1)^n przy n-> INF

Yavien · Post autor: **Yavien** » 3 lut 2005, o 22:54

(0,1)^n przy n-->INF to jest to samo, co 0,00000.... i to jest nieskonczonosc tego amego typu, co przy 0.99999....

[ Dodano: Czw 03 Lut, 2005 22:56 ]
Sorry, ja juz mam dosc. Zastanow sie na spokojnie, przeczytaj raz jeszcze, moze przespij, albo co. Ja dzis sie juz nie bede wypowiadac w tym temacie.

2505 · Post autor: **2505** » 3 lut 2005, o 23:01

spoko mimo to różnica (0.1)^n jaka jest miedzy 1 a 0.(9) nie daje mi spokoju

dobra to ostatni wątek w tym temacie, a co do prawdziwości tego to pozostawię to...
szczerze to u mnie jest tak, że próbuje dociekać a nie kłócić się, więc czasami występuję po róznych stronach w dyskusji na dany temat (w zależności z którą stroną rozmawiam)

no to na zakonczenie:
1-0.(9) = 1-0.9-0.09-0.009-0.0009-....=0
z tego wynika że:
1-0.0(9) = 0.9
1-0.00(9) = 0.99
1-0.000(9) = 0.999
...
1-0(0) = 0.(9)
0 = 0.(0) ??

Rogal · Post autor: **Rogal** » 3 lut 2005, o 23:43

I ten ostatni wyraz, to oczywiście prawda .

Aha, drażni Cię zapis 0,(9)=1, a nie sprzeciwiasz się temu, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{2n}=1}\)

To też jest ciąg nieskończony i też jest dokładnie równy liczbie i też jedynce. Teraz nad tym się zastanów .