Udowodnienie zbiorów wartości funkcji

[Kali]

Zrobiłem te zadania, ale w pokrętny sposób, z którego nie jestem zadowolony.

1) Funkcja f określona jest wzorem \(\displaystyle{ f (x)= \frac{2x}{ x^{2}+1}}\)

Wykazać, że zbiór wartości funkcji f zawiera sie w zbiorze

2) Funkcja f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2}-1 }{x}}\)

Wykazać, że zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

[_ludolfina_]

Obliczamy pochodna funkcji pierwszej i wynosi ona: 2(1-x^2)/(x^2+1)
Sprawdzamy kiedy pierwsza pochodna równa jest 0
licznik musi byc zerem czyli 1-x^2=0 otrzymujemy ze dla x=1 lub x=-1
Poniewaz pierwsza pochodna zmienia w tych punktach swoja wartość i jest to funkcja kwadratowa to tu jest ekstremum a to implikuje nam ze f(1)=2/2 =1 oraz f(-1)=-2/2=-1 i mamy nasz zbiór wartosci.

Analogicznie przyklad drugi:
f'(x)=(x^2+1)/(x^2) licznik x^2+1=0 to x nalezy do zbioru pustego (oczywiscie dla rzeczywistych) inymi slowy dla kazdego x funkcja x^2+1 jest wieksza od 0 więc zbiorem wartości jest zbiór liczb R

[Kali]

Twoja metoda jest mi obca zważywszy na moje dotychczasowe wykształcenie Dziękuje za rady, ale czy da się to zrobić prościej?

[scyth]

1) można tak:
\(\displaystyle{ f(x)> 1}\)
i pokazać, że takie x nie istnieje. Wychodzi dośc prosto, jak sobie nie poradzisz to rozpiszę. Podobnie pokazujesz dla \(\displaystyle{ f(x)0}\)
skoro \(\displaystyle{ \Delta}\) jest dodatnia dla każdego \(\displaystyle{ a}\) to zawsze istnieje miejsce zerowe, czyli x taki, że \(\displaystyle{ f(x)=a}\).