Równanie różniczkowe

[sosik]

Roziązać równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ y''(x)+4y'(x)+9y(x)=2e^{-x}}\)

dla: \(\displaystyle{ y(0)=1, y'(0)=1}\)

Za pomoc w rozwiązaniu zadania z góry serdecznie dziękuję
Pozdrawiam

[g]

latwo zauwazyc, ze \(\displaystyle{ y = {1 \over 3}e^{-x}}\) spelnia warunki zadania

[maadda]

No dobra ale co zrobic zeby do tego doprowadzic?

[g]

podstawilem do wzoru:
mamy rownanie postaci \(\displaystyle{ a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = Me^{kx}}\)
rownanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ P(\lambda) = a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0}\)
pierwiatkiem szczegolnym rownania jest \(\displaystyle{ y = {Me^{kx} \over P(k)}}\)
po wszystkim.

[chlip]

latwo zauwazyc, ze \(\displaystyle{ y = {1 \over 3}e^{-x}}\) spelnia warunki zadania

\(\displaystyle{ y(0) = {1 \over 3}e^{0} = {1 \over 3} 1 ={1 \over 3}}\)
jak widać podana funkcja nie spełnia warunków zadania

[Pikaczu]

Piękny wzór znalazłeś g, ale nam trzeba rozwiązać problem brzegowy a nie znaleźć rozwiązanie szczególne.

Możemy to robić na 2 sposoby:

1. zgadnąc jakieś rozwiązanie problemu \(\displaystyle{ (*) y''(x)+4y'(x)+9y(x)=2e^{-x}}\) a następnie rozwiązać rówmanie jednorodne

\(\displaystyle{ (**) y''(x)+4y'(x)+9y(x)=0}\)

rozwązaniem będzie suma rozwązań \(\displaystyle{ (*)}\) i \(\displaystyle{ (**)}\) zależne od stałych które wylichymy z warunków początkowych.

2. rozwiązyjemy \(\displaystyle{ (**)}\) i otrzymujemy dwa liniowo niezależne rozwiązania

\(\displaystyle{ y_1(x)}\) oraz \(\displaystyle{ y_2(x)}\) czyli

\(\displaystyle{ (***)y(x)=c_1y(x)+c_2y(x)}\)

teraz uznienniamy \(\displaystyle{ c_1}\) oraz \(\displaystyle{ c_2}\) następująco: \(\displaystyle{ c_1=c_1(x)}\), \(\displaystyle{ c_2=c_2(x)}\) i rozwiązujemy następujący układ:

\(\displaystyle{ \{\begin{eqnarray} c_1'(x)y_1(x)+c_2'(x)y_2(x)&=&0 \\ c_1'(x)y_1'(x)+c_2'(x)y_2'(x)&=&2e^{-x}\end{eqnarray}}\)

Teraz pozostaje jedynie wyliczanie \(\displaystyle{ c_1}\) oraz \(\displaystyle{ c_2}\) (już zależne tylko od "zwykłych" stałych) podstawienie do \(\displaystyle{ (***)}\) i wyliczenie tych "zwykłych" stałych z warunków początkowych

[g]

racja - gowniarz samouk musi sie jeszcze wiele dowiedziec dzieki za uczenie mnie