Granica w punkcie

[Radowit]

Mógłby ktoś przybliżyć temat granicy jednostronnej ?

obliczyć granice w punkcie x=0

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{ \frac{1}{x} - 1 }}{ \frac{1}{x} +1 }}\)

Jak się za to zabrać ? Czy granica \(\displaystyle{ 0^{+}}\) to wszystkie liczby dodatnie w dziedzinie \(\displaystyle{ (0, + )}\) ?
A \(\displaystyle{ 0^{-}}\) to \(\displaystyle{ (- , 0)}\) ?

[lukasgt]

Reguła de'l Hospitala
Wykładnik dąży do nieskończoności czyli licznik dązy do niesk.
ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) dązy do nieskonczonosci. możemy skorzystać z w.w. reguły - liczymy pochodna licznika i pochodna mianownika. ładnie sie skróci

a najbardziej intuicyjnie granice w \(\displaystyle{ 0^{+}}\) to jest wartośc minimalnie większa od zera(dla \(\displaystyle{ 0^{-}}\) cos minimalnie mniejszego).
\(\displaystyle{ \frac{1}{0.5}}\)=2; \(\displaystyle{ \frac{1}{0.1}}\)=10; \(\displaystyle{ \frac{1}{0.00000....1}}\)= \(\displaystyle{ \infty}\)

[Radowit]

Mam nadzieje, że dobrze Cię zrozumiałem. Czyli:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{e^{ \frac{1}{x} } - 1}{e^{ \frac{1}{x} } + 1} = \lim_{ x\to 0 } \frac{e^{-x^{-2}}}{e^{-x^{-2}}} = 1}\)

Mam nadzieje , że to jest dobrze zgadza się z odpowiedzią .

Dzięki.

[bienio]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0^{+} }\frac{e^{\frac{1}{x}}*\frac{-1}{x^{2}}}{\frac{-1}{x^{2}}}}\)

[Radowit]

Mógłby ktoś rozwinąć dlaczego taki wynik ? znaczy jakim wzorem tą pochodną policzyć ?

[Szemek]

Radowit,
ten przykład?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{ \frac{1}{x} - 1 }}{ \frac{1}{x} +1 }}\)
czy ten?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{e^{ \frac{1}{x} } - 1}{e^{ \frac{1}{x} } + 1}}\)
a może oba?

[ Dodano: 20 Stycznia 2008, 12:12 ]
\(\displaystyle{ \frac{(e^{ \frac{1}{x} - 1})'}{(\frac{1}{x} +1)'} = \frac{e^{\frac{1}{x}} (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{1}{x}}}\)
liczymy pochodną funkcji złożonej

chociaż nie widzę w jednym przykładzie sensu stosowania reguły de l"Hospitala
można przekształcić:
\(\displaystyle{ \frac{e^{ \frac{1}{x} } - 1}{e^{ \frac{1}{x} } + 1} = \frac{e^{ \frac{1}{x} } + 1 - 2}{e^{ \frac{1}{x} } + 1} = 1 - \frac{2}{e^{ \frac{1}{x} } + 1}}\)
i później liczyć granice jednostronne
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} ( 1 - \frac{2}{e^{ \frac{1}{x} } + 1}) = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} ( 1 - \frac{2}{e^{ \frac{1}{x} } + 1}) = -1}\)

[Radowit]

Dzięki chodziło o ten drugi przykład.

Nie wiem dlaczego z tego:

\(\displaystyle{ \frac{2}{e^{\frac{1}{x}} + 1}}\)

Wychodzi 2 i w drugim przykładzie -2 ?

Znaczy co się dzieje z
\(\displaystyle{ e^{\frac{1}{x}}}\)

[Szemek]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = ft[ \frac{2}{e^\infty + 1} \right] = ft[ \frac{2}{\infty} \right] = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{e^{\frac{1}{x}} + 1} = ft[ \frac{2}{e^{-\infty} + 1} \right] = ft[ \frac{2}{ ft(\frac{1}{e}\right)^\infty + 1} \right] = ft[ \frac{2}{0+1}\right]= 2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} ( 1 - \frac{2}{e^{ \frac{1}{x} } + 1}) = 1 - 0 = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} ( 1 - \frac{2}{e^{ \frac{1}{x} } + 1}) = 1 -2 = -1}\)