Obliczyć transformatę Laplace'a

[`vekan]

\(\displaystyle{ cos4t\cdot cos2t}\)

[luka52]

A należy wyprowadzić ją od zera, czy można skorzystać ze wzoru na \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{\cos(at)\right\}}\)
Bo jeżeli to drugie, to wystarczy rozpisać to wyr. jako sumę cosinusów, a jeżeli nie to pomyślimy ;].

[`vekan]

Chodzi o to żeby stosując te wzoru to wyliczyć.

odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{s(s^2+20)}{(s^2+20)^2 - 256}}\)

[luka52]

Zatem:
\(\displaystyle{ \cos 4t \cos 2t = \frac{1}{2} ft( \cos 2t + \cos 6t \right)}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ \frac{1}{2} ft( \cos 2t + \cos 6t \right) \right\} = \frac{1}{2} ft( \mathcal{L}\left\{\cos(2t)\right\} + \mathcal{L}\left\{\cos(6t)\right\} \right) = \frac{1}{2} ft( \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{s}{s^2 + 36} \right) = \\ = \frac{20s + s^3}{(s^2 + 4)(s^2 + 36)} = \frac{s(20 + s^2)}{s^4 + 40 s^2 + 144} = \frac{s(20 + s^2)}{(s^2 + 20)^2 + 144 - 20^2} = \text{wynik}}\)