Roziązać równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ y''(x)+4y'(x)+9y(x)=2e^{-x}}\)
dla: \(\displaystyle{ y(0)=1, y'(0)=1}\)
Za pomoc w rozwiązaniu zadania z góry serdecznie dziękuję
Pozdrawiam
Równanie różniczkowe
Równanie różniczkowe
Ostatnio zmieniony 12 maja 2018, o 00:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Równanie różniczkowe
latwo zauwazyc, ze \(\displaystyle{ y = {1 \over 3}e^{-x}}\) spelnia warunki zadania
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Równanie różniczkowe
podstawilem do wzoru:
mamy rownanie postaci \(\displaystyle{ a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = Me^{kx}}\)
rownanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ P(\lambda) = a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0}\)
pierwiatkiem szczegolnym rownania jest \(\displaystyle{ y = {Me^{kx} \over P(k)}}\)
po wszystkim.
mamy rownanie postaci \(\displaystyle{ a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = Me^{kx}}\)
rownanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ P(\lambda) = a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0}\)
pierwiatkiem szczegolnym rownania jest \(\displaystyle{ y = {Me^{kx} \over P(k)}}\)
po wszystkim.
-
- Użytkownik
- Posty: 152
- Rejestracja: 6 paź 2004, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zadupiów
- Pomógł: 2 razy
Równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ y(0) = {1 \over 3}e^{0} = {1 \over 3} 1 ={1 \over 3}}\)g pisze:latwo zauwazyc, ze \(\displaystyle{ y = {1 \over 3}e^{-x}}\) spelnia warunki zadania
jak widać podana funkcja nie spełnia warunków zadania
-
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 2 paź 2004, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakau
- Pomógł: 5 razy
Równanie różniczkowe
Piękny wzór znalazłeś g, ale nam trzeba rozwiązać problem brzegowy a nie znaleźć rozwiązanie szczególne.
Możemy to robić na 2 sposoby:
1. zgadnąc jakieś rozwiązanie problemu \(\displaystyle{ (*) y''(x)+4y'(x)+9y(x)=2e^{-x}}\) a następnie rozwiązać rówmanie jednorodne
\(\displaystyle{ (**) y''(x)+4y'(x)+9y(x)=0}\)
rozwązaniem będzie suma rozwązań \(\displaystyle{ (*)}\) i \(\displaystyle{ (**)}\) zależne od stałych które wylichymy z warunków początkowych.
2. rozwiązyjemy \(\displaystyle{ (**)}\) i otrzymujemy dwa liniowo niezależne rozwiązania
\(\displaystyle{ y_1(x)}\) oraz \(\displaystyle{ y_2(x)}\) czyli
\(\displaystyle{ (***)y(x)=c_1y(x)+c_2y(x)}\)
teraz uznienniamy \(\displaystyle{ c_1}\) oraz \(\displaystyle{ c_2}\) następująco: \(\displaystyle{ c_1=c_1(x)}\), \(\displaystyle{ c_2=c_2(x)}\) i rozwiązujemy następujący układ:
\(\displaystyle{ \{\begin{eqnarray} c_1'(x)y_1(x)+c_2'(x)y_2(x)&=&0 \\ c_1'(x)y_1'(x)+c_2'(x)y_2'(x)&=&2e^{-x}\end{eqnarray}}\)
Teraz pozostaje jedynie wyliczanie \(\displaystyle{ c_1}\) oraz \(\displaystyle{ c_2}\) (już zależne tylko od "zwykłych" stałych) podstawienie do \(\displaystyle{ (***)}\) i wyliczenie tych "zwykłych" stałych z warunków początkowych
Możemy to robić na 2 sposoby:
1. zgadnąc jakieś rozwiązanie problemu \(\displaystyle{ (*) y''(x)+4y'(x)+9y(x)=2e^{-x}}\) a następnie rozwiązać rówmanie jednorodne
\(\displaystyle{ (**) y''(x)+4y'(x)+9y(x)=0}\)
rozwązaniem będzie suma rozwązań \(\displaystyle{ (*)}\) i \(\displaystyle{ (**)}\) zależne od stałych które wylichymy z warunków początkowych.
2. rozwiązyjemy \(\displaystyle{ (**)}\) i otrzymujemy dwa liniowo niezależne rozwiązania
\(\displaystyle{ y_1(x)}\) oraz \(\displaystyle{ y_2(x)}\) czyli
\(\displaystyle{ (***)y(x)=c_1y(x)+c_2y(x)}\)
teraz uznienniamy \(\displaystyle{ c_1}\) oraz \(\displaystyle{ c_2}\) następująco: \(\displaystyle{ c_1=c_1(x)}\), \(\displaystyle{ c_2=c_2(x)}\) i rozwiązujemy następujący układ:
\(\displaystyle{ \{\begin{eqnarray} c_1'(x)y_1(x)+c_2'(x)y_2(x)&=&0 \\ c_1'(x)y_1'(x)+c_2'(x)y_2'(x)&=&2e^{-x}\end{eqnarray}}\)
Teraz pozostaje jedynie wyliczanie \(\displaystyle{ c_1}\) oraz \(\displaystyle{ c_2}\) (już zależne tylko od "zwykłych" stałych) podstawienie do \(\displaystyle{ (***)}\) i wyliczenie tych "zwykłych" stałych z warunków początkowych
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Równanie różniczkowe
racja - gowniarz samouk musi sie jeszcze wiele dowiedziec dzieki za uczenie mnie