Wykazać, że istnieją pochodne cząstkowe z definicji

[BlackRose]

Witam!

Nie zgadza mi się jedna rzecz, którą znalazłam w rozwiązanym przykładzie w książce, proszę rozwiejcie moje wątpliwości.

Treść zadania:

Wykazać, że istnieją \(\displaystyle{ f '_{x}, f '_{y} \ na \ \mathbb{R} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} 0 \ dla \ x=y=0 \\ \frac{x ^{2}y }{x ^{2} + y ^{2}} \ dla \ x ^{2} + y ^{2} > 0 \end{cases}}\)

Pochodne gdy \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} > 0}\) są obliczone normalnie, natomiast gdy x=y=0 z definicji w następujący sposób:

\(\displaystyle{ f' _{x} (0,0)=\lim_{\Delta x\to\ 0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to\ 0} \frac{0}{\Delta x}=0}\)

Moim zdaniem powinno być \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\).

Pozdrawiam
Kasia

[Qń]

Nie - najpierw liczysz wartość ilorazu różnicowego, a potem obliczasz granicę. Tutaj ta wartość jest równa po prostu 0, a granica z 0 to w dalszym ciągu 0.

Q.

[BlackRose]

No ale to zero w liczniku jest już przy założeniu, że\(\displaystyle{ \Delta x \rightarrow 0}\) tak? Bo inaczej jak licznik ma się równać 0? Myślałam, że wszystkie \(\displaystyle{ \Delta x}\) zamienia się na 0 w tym samym czasie....
Chyba, że jest inne wytłumaczenie.

[Qń]

Napis:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{0}{t}}\)
nie oznacza:
\(\displaystyle{ \frac{0}{\lim_{t \to 0} t}}\)
ale:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \left( \frac{0}{t} \right) = \lim_{t \to 0} 0 = 0}\)

Najpierw się zajmujemy do oporu tym z czego liczymy granicę, a dopiero potem robimy przejście graniczne.

Pozdrawiam.
Qń.