Wyznacz z,b,c dla któreej zachodzi... Miałem dylemat czy wrzucać do funkcji bo zadanie opiera się chyba na sprawdzeniu czy dziedziny się pokrywająi dla jakich a,b,c liczniki równe.
miałem przykład \(\displaystyle{ \frac{1}{(x-2)(x+2)}= \frac{a}{x-2}+ \frac{b}{x-2}}\)
dziedziny równe i teraz przekształcam sprowadzając do wspólnego mianownika
i teraz jak przyrównać liczniki bo nie umiem tu zastosować twierdzenia o równośći wielomianów więc jak to zrobić, prosiłbym o rozwiązanie takiego oto przykładu
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}+1}= \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^{2}-x+1}}\)
Wyznacz a,b,c
-
Kobcio
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 10 lut 2007, o 15:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Grudziądz
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
Wyznacz a,b,c
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{3}+1}= \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^{2}-x+1} \\
\frac{1}{x^{3}+1}= \frac{a(x^{2}-x+1)+(bx+c)(x+1)}{x^{3}+1} \\
\frac{1}{x^{3}+1}= \frac{ax^{2}-ax+a+bx^{2}+cx+bx+c}{x^{3}+1} \\
\frac{ax^{2}-ax+a+bx^{2}+cx+bx+c-1}{x^{3}+1}=0 \\}\)
Oczywiście, aby iloraz był zerem, to licznik tego ułamka musi być zerem
czyli w tym przypadku wielomianem zerowym:) \(\displaystyle{ ax^{2}-ax+a+bx^{2}+cx+bx+c-1\equiv0(x) \\
(a+b)x^{2}+(b+c-a)x+(a+c-1)\equiv0(x)}\)
Z czego mamy warunki:
\(\displaystyle{ a+b=0 b+c=a a+c=1 \Longrightarrow a=\frac{1}{3} b=-\frac{1}{3} c=\frac{2}{3}}\)
Proszę bardzo mam nadzieję, że nie ma błędów
\frac{1}{x^{3}+1}= \frac{a(x^{2}-x+1)+(bx+c)(x+1)}{x^{3}+1} \\
\frac{1}{x^{3}+1}= \frac{ax^{2}-ax+a+bx^{2}+cx+bx+c}{x^{3}+1} \\
\frac{ax^{2}-ax+a+bx^{2}+cx+bx+c-1}{x^{3}+1}=0 \\}\)
Oczywiście, aby iloraz był zerem, to licznik tego ułamka musi być zerem
czyli w tym przypadku wielomianem zerowym:) \(\displaystyle{ ax^{2}-ax+a+bx^{2}+cx+bx+c-1\equiv0(x) \\
(a+b)x^{2}+(b+c-a)x+(a+c-1)\equiv0(x)}\)
Z czego mamy warunki:
\(\displaystyle{ a+b=0 b+c=a a+c=1 \Longrightarrow a=\frac{1}{3} b=-\frac{1}{3} c=\frac{2}{3}}\)
Proszę bardzo mam nadzieję, że nie ma błędów