Dlaczego znika jednostka urojona

[TokaKoka]

Mam pewne rozwiązanie równania różniczkowego. Po wykorzystaniu wzoru Eulera do przedstawienia liczby urojonej w postaci sprężonej otrzmuję np.:
\(\displaystyle{ x(t)=C_{1}*(\cos t+i*\sin t)+C_{2}*(\cos t-i*\sin t)}\)
po uporządkowaniu stałych \(\displaystyle{ C_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ C_{2}}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ x(t)=(C_{1}+C_{2})*\cos t+(C_{1}-C_{2})*i*\sin t}\)
ponieważ wartości \(\displaystyle{ (C_{1}+C_{2})}\) oraz \(\displaystyle{ (C_{1}*i-C_{2}*i)}\) są stałymi można przyjąć, że
\(\displaystyle{ D_{1}=(C_{1}+C_{2})}\) oraz \(\displaystyle{ D_{2}=(C_{1}*i-C_{2}*i)}\) dzięki czemu otrzymuje się prostszą postać naszego rozwiązania:
\(\displaystyle{ x(t)=D_{1}*\cos t+D_{2}*\sin t}\).
Teraz moje pytanie. Jak mam w sposób "mądry" i matematyczny wytłumaczyć mojemu promotorowi dlaczego w całym tym toku rozumowania znika jednostka urojona "i". Mi się wydaje, że to co napisałem to wystarczy nic dodać nie umiem mądrego, no ale gość się uparł i mam zagadkę:). Wystarczy opisać to w paru zdaniach, nie trzeba tego dowodzić aczkolwiek jak ktoś chce to udowodnić to dodatkowy plus dla niego.
Z góry dziękuję za pomoc.

[BlackRose]

Moim zdaniem jednostka urojona wcale nie znika, ponieważ kryje się w \(\displaystyle{ D _{2}}\)
Pozdrawiam
Kasia

[Qń]

Myślę, że gdybyś podał jakie to równanie różniczkowe, łatwiej byłoby udzielić odpowiedzi .
Bo wyłącznie na podstawie pierwszej równości nie możemy stwierdzić, że ostatnia równość definiuje funkcję rzeczywistą.

Pozdrawiam.
Qń.

[Rogal]

Zamiast tak podstawiac D2, po prostu podstaw \(\displaystyle{ D_{2} = C_{1}-C_{2}}\). Wtedy rozwiązanie przedstawi się w postaci ładnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ x(t) = D_{1} \cos t + iD_{2} \sin t}\)
I teraz jeśli t przebiega rzeczywiste, stałe \(\displaystyle{ C_{1}. C_{2}}\) również są z rzeczywistych, to ta funkcja będzie rzeczywistą, gdy D2 będzie zerem.