zbadaj zbieznośc szeregu..

[Ambi]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*cos (n^{2})}\)
oraz czy nast. szereg jest warunkowo zbiezny:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}*ctg ( \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{6})}\)

[nolsc]

Pierwszy nie spelnia warunku koniecznego.

Drugi jest iloczynem to ciag anharmoniczny pomnozony przez ciag ograniczony.

\(\displaystyle{ \ctg\left(\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)}\)
przyjmuje naprzemian wartosci
\(\displaystyle{ \left{ \frac{ \sqrt{3}}{3}, 0, -\sqrt{3}\right }}\)
Jak widac ciag nie bedzie monotoniczny, wiec kryterium Leibniza odpada. Jest pozno, wiec moge gadac glupoty, ale poki ktos madrzejszy nie odpowie, to masz jakas wskazowke

[Ambi]

Ad 1: Nie spełnia, owszem, bo to "widać". Masz pomysł na jakieś ścisłe uzasadnienie?
Ad 2: Wskazówka okazała sie być chyba przydatna, bo teraz wystrczy zauwazyc, że 1/n są dodatnie i jest to ciąg zbieżny do 0. Ponadto suma (-1)^n * cos (..) jest wspólnie ograniczona przez chociażby -2, 2. Wiec z dirichleta zbieżny?

[sztuczne zęby]

Ambi definicja zbieżności ciągu \(\displaystyle{ \forall \epsilon \exists n_0 \forall n>n_0 |a_n-g| < \epsilon}\)
Nie wiem czy to jest do końca formalnie. Ale łątwo jest udowodnić, że funkcja ta przyjmuje nieskończenie wiele wartości maksymalnych i minimalnych odpowiednio równych 1 i -1. Z czego wynika, że nie istnieje taki epsilon, bo nie jest to spełnione chociażby dla \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{2}}\).